第二节空间几何体的表面积和体积
[知识能否忆起]
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)h
＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝Ch′
V＝Sh
正棱台
S侧＝(C＋C′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝4πR2
V＝πR3
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于a，
∴S全＝a2＋3××2＝a2.
2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
A．12π B．36π
C．72π D．108π
解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×＝6，高为 ＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.
3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )
A．24 B．80
C．64 D．240
解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V＝×8×6×5＝80.
4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，
则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr.
解得r＝1，即直径为2.
答案：2
5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．
解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)．
答案：2(π＋)
1.几何体的侧面积和全面积：
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．
2．求体积时应注意的几点：
(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．
3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．
几何体的表面积
典题导入
[例1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．
在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.
所以其表面积为2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
[答案] 92
由题悟法
1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
以题试法
1．(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )
A. B．2
C．4 D．4
解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×＝4.
几何体的体积
典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
[自主解答] (1)
由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
V＝V半球＋V圆锥＝·π·33＋·π·32·4＝30π.
(2)VA－DED1＝VE－ADD1＝×S△ADD1×CD＝××1＝.
[答案] (1)C (2)
本例(1)中几何体的三视图若变为：
其体积为________．
解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝V圆柱－V圆锥＝π×32×4－π×32×4＝24π.
答案：24π
由题悟法
1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．
以题试法
2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶8
解析：选C 设正方形ABCD面积为S，PD＝h，则体积比为
＝.
(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )
A．32 B．24
C．8 D.
解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S＝9＋2××3×1＝12，
所以几何体体积V＝12×2＝24.
与球有关的几何体的表面积与体积问题
典题导入
[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
[自主解答] 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，
所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．
在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝ ＝，
∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.
[答案] A
由题悟法
1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
2．记住几个常用的结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①正方体的外接球，则2R＝a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.
以题试法
3．(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A．2π B.
C．4 D.
(2)(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．
其中侧面DBC⊥底面ABC，取BC的中点O1，连接AO1，DO1知DO1⊥底面ABC且DO1＝，AO1＝1，BO1＝O1C＝1.
在Rt△ABO1和Rt△ACO1中，AB＝AC＝，
又∵BC＝2，∴∠BAC＝90°.
∴BC为底面ABC外接圆的直径，O1为圆心，
又∵DO1⊥底面ABC，∴球心在DO1上，
即△BCD的外接圆为球大圆，设球半径为R，
则(－R)2＋12＝R2，∴R＝.
∴S球＝4πR2＝4π×2＝.
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝.
故球O的体积V＝＝π.
答案：(1)D (2)π
1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )
A．8 B.
C．4 D.
解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V＝S正方形ABCD×PA＝××2×2×2＝.
2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为( )
A. B．3
C．2 D．6
解析：选A 依题意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥O－ABCD的高等于＝，所以棱锥O－ABCD的体积等于×(3×2)×＝.
3．(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )
A．4π B.π
C．5π D.π
解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为
·4π·12＋3··π·12＝π.
4．(2012·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )
A．24 B．23
C．22 D．21
解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.
5． (2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )
A. B．5
C. D．4
解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2××2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.
6.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )
A．与点E，F位置有关
B．与点Q位置有关
C．与点E，F，Q位置都有关
D．与点E，F，Q位置均无关，是定值
解析：选D 因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值．
7．(2012·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.
答案：
8．(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为，体积为π.
答案：π
9．(2013·郑州模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则
得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.
答案：43π
10．(2012·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC＝.
(1)求证：面ABEF⊥平面BCDE；
(2)求五面体ABCDEF的体积．
解：设原正六边形中，AC∩BE＝O，DF∩BE＝O′，由正六边形的几何性质可知OA＝OC＝，AC⊥BE，DF⊥BE.
(1)证明：在五面体ABCDE中，OA2＋OC2＝6＝AC2，
∴OA⊥OC，
又OA⊥OB，∴OA⊥平面BCDE.∵OA?平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面BCDE.
(2)由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，∴平面AOC∥平面FO′D，故AOC－FO′D是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B－AOC和E－FO′D为大小相同的三棱锥，
∴VABCDEF＝2VB－AOC＋VAOC－FO′D
＝2×××()2×1＋×()2×2＝4.
11．(2012·大同质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，CD＝2，所以BF綊CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE?平面DEF，所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，
AB⊥AD，
所以S△ABC＝×AB×AD＝×4×2＝4.
故三棱锥A－PBC的体积VA－PBC＝VP－ABC＝×S△ABC×PO＝×4×＝.
12．(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.
解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，
故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝×1××＝.
(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，
所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.
因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.
而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.
1．(2012·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于( )
A．8π B．16π
C．48π D．不确定的实数
解析：选B 设矩形长为x，宽为y，
周长P＝2(x＋y)≥4＝8，当且仅当x＝y＝2时，周长有最小值．
此时正方形ABCD沿AC折起，
∵OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥D－ABC的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，
此球表面积为4π×22＝16π.
2．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.
解析：由题意得
VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1＝××3×3×2＝6.
答案：6
3．(2013·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝，沿BD将△BCD折起，使二面角A－BD－C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O.
(1)当α为何值时，三棱锥C－OAD的体积最大？最大值为多少？
(2)当AD⊥BC时，求α的大小．
解：(1)由题知CO⊥平面ABD，∴CO⊥BD，
又BD⊥CD，CO∩CD＝C，∴BD⊥平面COD.
∴BD⊥OD.∴∠ODC＝α.
VC－AOD＝S△AOD·OC＝×·OD·BD·OC
＝·OD·OC＝·CD·cos α·CD·sin α
＝·sin 2α≤，
当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．
∴当α＝45°时，三棱锥C－OAD的体积最大，最大值为.
(2)连接OB，
∵CO⊥平面ABD，∴CO⊥AD，
又AD⊥BC，
∴AD⊥平面BOC.
∴AD⊥OB.
∴∠OBD＋∠ADB＝90°.
故∠OBD＝∠DAB，又∠ABD＝∠BDO＝90°，
∴Rt△ABD∽Rt△BDO.
∴＝.
∴OD＝＝＝1，
在Rt△COD中，cos α＝＝，得α＝60°.
1．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为( )
A．(6－3)π B．(8－4)π
C．(6＋3)π D．(8＋4)π
解析：选A 设球O1、球O2的半径分别为r1、r2，
则r1＋r1＋r2＋r2＝，
r1＋r2＝，
从而4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.
2．已知某球半径为R，则该球内接长方体的表面积的最大值是( )
A．8R2 B．6R2
C．4R2 D．2R2
解析：选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2＋b2＋c2＝(2R)2，所以S表＝2(ab＋bc＋ac)≤2(a2＋b2＋c2)＝8R2，当且仅当a＝b＝c＝R时，等号成立．
3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )
A．20＋3π B．24＋3π
C．20＋4π D．24＋4π
解析：选A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆
柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×π＝20＋3π.
4．(2012·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A．d≈ B．d≈
C．d≈ D．d≈
解析：选D ∵V＝πR3，∴2R＝d＝ ，考虑到2R与标准值最接近，通过计算得－≈0.132 08，－2≈－0.090 1，－≈－0.001 0，－≈0.000 8，因此最接近的为D选项．
5．(2012·上海高考)如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．
解析：如图过点B在平面BAD中作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，因为BC⊥AD，所以AD⊥平面BCE.所以四面体ABCD的体积为S△BCE·AD.当△BCE的面积最大时，体积最大．因为AB＋BD＝AC＋CD＝2a，所以点B，C在一个椭圆上运动，由椭圆知识可知当AB＝BD＝AC＝CD＝a时，BE＝CE＝为最大值，此时截面△BCE面积最大，为×2＝，此时四面体ABCD的体积最大，最大值为S△BCE·AD＝·.
答案：c
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