两个平面平行的判定和性质（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．两个平面平行的性质．
2．两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．
（二）能力训练点
1．利用转化的思维方法掌握和应用两个平面平行的性质．
2．应用类比的方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；掌握两平行平面间的距离的概念，会求两个平行平面间的距离．
2．教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用．
3．教学疑点：正确掌握如何将两个平面平行的性质的研究转化为线线平行、线面平行、线面垂直的研究．
三、课时安排
1．12两个平面的位置关系及1．13两个平面平行的判定和性质这两个课题调整安排为2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面平行的性质．
四、教与学过程设计
（一）复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定
（一）复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定
师：两个平面的位置关系有哪几种？
生：平行或相交．
师：两个平面平行的判定方法有哪几种？
生：第一种可根据定义（一般用反证法）．
b＝0，a∥β，b∥β，则α∥β．
第三种可根据例1的结论，即：如图1－110，若α⊥AA＇，β⊥AA＇，则α∥β．
（二）两个平面平行的性质
师：今天我们研究两个平面平行的性质．根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．因此，在解决实际问题时，常常把面面平行转化为线面平行或线线平行．这个结论可作为两个平面平行的性质1：若α∥
1．两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
已知：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b．
求证：a∥b．
师：要证明这个定理，有两种证法：直接证法和间接证法（即反证法）．下面请同学们书写直接证法，口述反证法．
生：（直接证法．）
∵α∥β，
∴α与β没有公共点．
∴a∥b．
（反证法．）
假设直线a不平行于直线b，因为直线a、b在同一个平面γ内，
公共点P，即α，β相交，这与“α∥β”矛盾，所以假设不成立，即a∥b．
师：这个结论可作为性质2：若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b．下面我们再看一个例题．
2．例题
例2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
已知：α∥β，l⊥α，l∩α＝A．
求证：l⊥β．
师提问：证明直线与平面垂直的方法有几种？
师与生共同回忆：方法一，证明直线与平面内的任何一条直线都垂直；方法二，证明直线与平面内两条相交的直线垂直；方法三，证明直线的一条平行线与平面垂直．
比较几种方法，我们可以试着用第一种方法来证明．
证明：在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面，设γ∩α＝a．
因为直线b是平面β内的任意一条直线，所以l⊥β．
师：这个例题的结论可与定理“一个平面垂直于两条平行直线中的一条直线，它也垂直于另一条直线．”联系起来记忆，它也可作为性质3：若α∥β，l⊥α，则l⊥β．
3．两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离
师：象性质3这样的，和两个平行平面α，β同时垂直的直线l，叫做这两个平行平面α，β的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段．
如图1—113，α∥β．如果AA＇、BB＇都是它们的公垂线段，那么AA＇∥BB＇，根据两个平面平行的性质定理有A＇B＇∥AB，所以四边形ABB＇A＇是平行四边形，AA＇＝BB＇．
由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段的长度具有唯一性．与两平行线间的距离定义相类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离，求值最后也是通过解三角形求得
4．练习（幻灯显示）
（1）如图1—114，平面α∥β，△ABC在β内，P是α、β
间的一点，线段PA、PB、PC分别交α于A＇、B＇、C＇，若BC=12cm，AC＝50cm， AB＝13cm，且PA＇∶PA= 2∶3，则△
师提示：△ABC∽△A＇B＇C＇，且相似比为3∶2．
BB＇⊥β于B＇，若 AC⊥AB，AC与β成60°角，AC＝8cm，B＇
师提示：可求A＇C＝4cm，又可证AB⊥平面AA＇C，且四边形 AA＇B＇B为矩形，∴ AB ＝ A＇B＇，AB∥A＇B＇．∴A＇B＇⊥平面AA＇C，从而A＇B＇⊥A＇C．在Rt△A＇B＇C中，
（3）（P．38中练习3）夹在两个平行平面间的平行线段相等．
已知：如图1—116，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．
求证：AB＝CD．
证明：∵AB∥CD，
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC＇和BD．
∵α∥β，
∴BD∥AC．
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
师：这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
（三）总结
这节课，我们不仅学习了两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离的定义，还学习了两个平行平面的四个性质．此外，两平行平面的第五个性质：经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．它的证明作为今天的作业（P．38中习题五4）．这节课学习的关键是利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题．
五、作业
P．38—39中习题五4、5、6、7、8．
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