两条异面直线所成的角
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．
2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．
（二）能力训练点
1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．
2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．
（三）德育渗透点
进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．
2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．
3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．
三、课时安排
1课时．
四、教与学的过程设计
（一）复习提问引入课题
师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？
生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．
师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．
（二）异面直线所成的角
师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．
师：针对这个定义，我们来思考两个问题．
问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？
答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？
答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．
师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．
（三）两条异面直线的距离
师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？
生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．
师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？
生：用两平行线间的距离来表示．
师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．
对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线．
定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．
师：根据定义，思考问题．
问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
问题2：两条异面直线的公垂线有几条？
答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、 B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．
师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离．
定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．
如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离．
下面，我们来完成练习和例题．
（四）练习
例设图1－53中的正方体的棱长为a，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．
（3）求异面直线BC和AA′的距离．
解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′
∴直线BA′与CC′是异面直线．
同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．
（2）∵CC′∥BB′，
∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．
∵=∠A′BB′=45°，
∴BA′和CC′所成的角是45°．
（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，
又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴AB是BC和AA′的公垂线段．
∵AB=a，
∴BC和AA′的距离是a．
说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．
【练习】
（P．16练习1、3．）
1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
答：不一定，还可能异面．
（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．
解：
（五）总结
本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．
五、作业
P．17-18中9、10．
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