题目 第三章数列数列的概念 高考要求 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 知识点归纳 （1）一般形式： (2)通项公式： (3)前n项和：及数列的通项an 与前n项和Sn 的关系：  题型讲解 例１　若数列{an}满足若，则的值为 （ ） A B C D 解：逐步计算，可得 , 这说明数列{an}是周期数列，而, 所以 应选B 点评　分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色 例2 如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度 （1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标 解：(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有       …　　　　　　　　　　　　　…   ∴＝,  ,  , , 即 （2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间 再加（44－16）＝28秒， 所以秒 （3）由2004，解得，取最大得n=44, 经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44） 点评　从起始项入手，逐步展开解题思维由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在 例3　已知数列的前项和满足 （1）写出数列的前三项； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有  解：（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异 　由 由 由 （２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的事实上 当时，有  即有　 从而　 　　　 ……  接下来，逐步迭代就有   经验证a1也满足上式，故知  其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得 令就有 ， 于是 ， 这说明数列是等比数列，公比　首项， 从而，得 　　　　　， 即　　　　， 故有 （３）由通项公式得 当且n为奇数时，    当为偶数时，  当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景  故任意整数m>4，有 点评　本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能 例4 已知数列｛an｝的通项an = (n+1)()n (n∈N﹡)试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由 解：∵an + 1 – an = (n+2)( )n+1 – (n+1) ( )n =  ∴当n＜9时，a n + 1 - an＞0即a n + 1　＞a n　； 当n=9时a n + 1－a n＝0，即 a n + 1＝an　，当n＞9时，a n + 1- an＜0即a n + 1＜a n　， 故a1＜a2＜……＜a9 = a10＞a11＞a12＞……，　　 ∴数列｛an｝中最大项为a9或a10　， 其值为10·（）9，其项数为9或10　 小结： 1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同，数列｛an｝可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集｛1,2，……，n｝的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普通性，又要注意数列方法的特殊性 2根据所给数列的前n项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的独立特征；相邻项变化的特征；拆项后的特征，各项符号特征和绝对值特征，并由此进行化归、归纳、联想 3通项an与前n项和Sn的关系是一个十分重要的考点，运用时不要忘记对an=Sn-Sn-1(n≥2) 的条件的验证 学生练习 １　某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选（ ） (A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼 2 若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则 （A）= （B）＞ （C） （D）＞ 3　2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是（　　） （A）1024 B）2048 （C） 2049 （D）无法确定 4 设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 (A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008 5 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示： 1998年 1999年 2000年  新植亩数 1000 1400 1800  沙地亩数 25200 24000 22400  而一旦植完，则不会被沙化 问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？ ６　已知正项数列满足 （），且 求证（1）（2） 7根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）……　　　（2）－1，…… （3）3,33，333,3333，……　　（4）…… 8根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： 　（1）a1 = 3 , a n + 1 = 2an + 1; (2)a1 = a , a n + 1 =; (3)对一切n∈N﹡，a n＞0且2＝an+1 　参考答案 １C　　　２　C　　３C　　４A ５（1）由表知，每年比上一年多造林400亩 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩 同理2000年沙化土地为200亩 所以每年沙化的土地面积为200亩 （2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩 设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、、、…，则n年造林面积总和为：  由题意： 化简得, 解得：  故8年，即到2007年可绿化完全部沙地 ６（1）将条件变形，得 于是，有 ………… 将这n-1个不等式叠加，得  故  （2）注意到，于是由（1）得 ， 从而，有  7根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）……　　　（2）－1，…… （3）3,33，333,3333，……　　（4）…… 解：（1）an =  ；(2)an = (-1)n  (3)an = (10n-1) ； (4)an =  8根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： 　（1）a1 = 3 , a n + 1 = 2an + 1; (2)a1 = a , a n + 1 =; (3)对一切n∈N﹡，a n＞0且2＝an+1 解：（1）a1 = 3 , a2 = 7 , a3 = 15 , a4 = 31 猜想得an =2n + 1 – 1 (2) a1 = a , a2 =, a3 = , a4 = , 猜想得an = （3）令n=1得2＝a1 + 1得a1 = 1;令n = 2得2＝a2 + 1得a2 = 3; 令n = 3得2＝a3 + 1得a3 = 5;令n = 4 得2＝a4 = 7猜想得an = 2n – 1　 课前后备注 　
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