题目 第四章三角函数同角三角函数的基本关系 高考要求 1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式 2能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 知识点归纳 1倒数关系：，， 2商数关系：， 3平方关系：，， 题型讲解 例1 化简 解：原式 例2 化简 解：原式  例3 已知，试确定使等式成立的角的集合 解：∵ === 又∵， ∴， 即得或 所以，角的集合为：或 例4已知：，求的值 解：∵， ∴原式 点评：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式 变式训练：已知：，求的值 解：， 原式 点评：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用 例5已知，且是第四象限角，求的值 解：   由已知得：， ∴原式 点评：关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论 变式训练：将例5中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？ 解：原式， ∵为负值，∴是第三、四象限角 当是第三象限角时， ∴原式 当是第四象限角时，即为上例 点评：抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论 例6 证明： 分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证A·D=B·C,从而将分式化为整式 证法一：右边= =  = 证法二：要证等式，即为  只要证 2（）（）= 即证：  ， 即1=，显然成立， 故原式得证 点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，如“求证”利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系 例7已知求下列各式的值 （1），（2）， （3） 分析一：据，首先确定所在的象限，再由所在的象限和同角间的三角函数关系来确定sin与cos的值，最后代入即可 解析一：由知角为第一或三象限 当为第一象限时，由有，sin=， 所以（1）=， （2）= （3）=4=1 当为第三象限时，由tan=2，有sin=， 所以（1）=， （2）=， （3）=4=1 综上有（1）=－1， （2）=， （3）=1 分析二：要注意到分式的分子与分母均是关于的一次齐式，其中第（3）问要将分母看成是1=，所以可以将分子分母同时除以 解法二：（1）= （2）= （3）= = 点评：这是一组在已知齐次式的问题，解这类问题有两个方法，一是直接求出的值，再代入求解，如本题解法一，但这种方法较繁琐二是将所求式转化为只含的代数式，再代入求解，但应用此法时要注意两点：（1）一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为，这样可以将所求式化为关于的表达式，从而可以整体代入的值进行求解 例8 已知 分析：由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解 解：因为，所以， （1）当b=0时，角 若角 若角 （2）当 若  特别提示： 本题易错解为： 因为， 所以（1）； （2）； （3）； （4） 其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也b=0时，角的终边在y轴上，此时tan不存在，所以在解答讨论时，应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求，在各个象限的符号等 例9已知， 求（1）；（2）的值 解：（1）； (2)   点评：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化 例10 化简 解：原式=  点评：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点： （1）所含三角函数的种类最少； （2）能求值（指准确值）尽量求值； （3）不含特殊角的三角函数值 例11 求证： 证法一：由题义知，所以 ∴左边=右边 ∴原式成立 证法二：由题义知，所以 又∵， ∴ 证法三：由题义知，所以 ， ∴ 例12 求证： 证明：左边   ， 右边 所以，原式成立 点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 小结：1运用同角三角函数关系式化简、证明 2常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式 学生练习 1已知是第二象限角，则  2若是三角形的内角，且，则此三角形一定是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 3若，则角的取值范围是  4 求证：（1）； （2） 5 已知，，其中，求满足条件的实数的取值的集合 6 已知，求的值 7 如果sinθ= m,|m|>1,180°<θ<270°,那么tanθ等于（ ） A B－ C± D－ 8若sinθ= , cosθ= ,其中θ为第二象限的角,则m的取值范围是 ( ） Am = 8 B3
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