题目 第五章平面向量平面向量的基本运算
高考要求
1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2掌握向量的加法和减法
3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件
知识点归纳
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量为单位向量｜｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设，则+==
（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
记作,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；
(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，
记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
4实数与向量的积：
①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
6平面向量的基本定理：
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
题型讲解
例1 给出下列命题：
① 若||＝||，则=；
② 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③ 若=，=，则=，
④=的充要条件是||=||且//；
⑤ 若//，//，则//，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
② 正确．∵ ，∴ 且，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，
因此，．
③ 正确．∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；
又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，
∴ ，的长度相等且方向相同，故＝．
④ 不正确．当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤ 不正确．考虑=这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．
例2 如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来．
解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．
解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，
所以，
所以=＋，所以= =+，
由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，
所以=＋=+=++=2+，
同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－
点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示．
例3 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，② ③
解：①原式=
②原式=
③原式=
例4 设为未知向量，、为已知向量，解方程2((5+3(4)+ (3=0
解：原方程可化为：(2 ( 3) + ((5+) + (4(3) = 0
∴ =+
例5设非零向量、不共线，=k+，=+k (k(R)，若∥，试求k
解：∵∥
∴由向量共线的充要条件得： =λ (λ(R)
即 k+=λ(+k) ∴(k(λ) + (1(λk) =
又∵、不共线
∴由平面向量的基本定理
例6 如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=，试用、分别表示、、
解：∵ ABCD中，BF=MC=BC,
∴FM=BC=AD=AH ∴FM AH
∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM
又 , 而
∴= + , = ( (
(((( ) = +
例7 求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上．
证明：设起点为O，＝，=，＝3－2，
则=2(－)，=－，，
∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，
即向量，，3－2的终点在同一直线上．
点评：⑴利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：
① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点；
⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：
①证明向量平行；②说明两向量无公共点．
学生练习
1在中，设则（ ）
() (B) (C) (D)
2化简：( )
(A) (B) (C) (D)
3在平行四边形中，（ ）
() (B) (C) (D)
4给出下列3个向量等式，其中正确的个数为（ ）
（1） （2）
（3）
() 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5若向量与 互为相反向量，则下列等式中成立的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
6下列命题中，正确的命题是（ ）
(A)且
(B)或
(C)若则
(D)若与 不平行，则
7已知是平行四边形，O为平面上任意一点，设，则有( )
(A) (B)
(C) (D)
8向量与 都不是零向量，则下列说法中不正确的是（ ）
(A)向量与 同向，则向量+ 与的方向相同；
(B)向量与 同向，则向量+ 与的方向相同；
(C)向量与 反向，且则向量+ 与同向；
(D)向量与 反向，且则向量+ 与同向
9下列说法中错误的是（ ）
(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行
(C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的
10下列命题正确的是（ ）
(A)向量与是两平行向量
(B)若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形
(C)若、都是单位向量则＝
(D)两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
11在平行四边形ABCD中, ++等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
12下列命题正确的是（ ）
(A)向量的长度与向量的长度相等
(B)两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
(C)非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
(D)若平行且平行，则平行
13在平行四边形中，若，则平行四边形的形状是
14化简：
15化简：
16若向量、满足条件，，则的最大值是 ；最小值是
17等腰Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，设，，试用、表示、、、
18、一架飞机从A地按北偏西300的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行已知C地在A地北偏东600的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离（要求画出向量图形）（12分）
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
C
D
B
D
A
A
A
A
13矩形 14 15 16，
17 、
、
18距离为；方向是东偏南（或南偏东）
课前后备注
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