题目 第六章不等式不等式的概念与性质
高考要求
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题
知识点归纳
1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：
2．不等式的性质：
（1） ， （反对称性）
（2） ， （传递性）
（3），故 （移项法则）
推论： （同向不等式相加）
（4），
推论1：
推论2：
推论3：
不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
题型讲解
例1 已知三个不等式：①ab>0 ②bc>ad ③>,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题
解：可以组成下列3个命题
命题一：若ab>0，>, 则bc>ad
命题二：若ab>0，bc>ad 则>,
命题三：若>, bc>ad 则ab>0
由不等式的性质得知这三个命题均为真命题
例2有三个条件：（1）ac2>bc2；(2)＞；(3)a2>b2，其中能分别成为a>b的充分条件的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：（1）由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故ac2>bc2是a>b的充分条件（2）c<0时，ab的充分必要条件，故答案选B
例3 若a>b>1，P=， Q= (lg a +lg b ),R=lg(),试比较P ，Q， R的大小
解：∵a>b>1，∴lg a> lg b>0，
∴<，即Pb>c，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2
证明：－；
若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
求
解：（1）a>b>c，a+b+c=0,
∴,
∴a>0，1>
∴
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ ax2+bx+c=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2=<0(3cb,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c
2同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d,
但不能得a—c>b—d
3不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正
总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零 处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负
作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意
学生练习
1．已知a1 Da2>b2
答案: D
2．已知命题甲：acc，b>d，则甲是乙的（ ）
A充分非必要条件 B必要非充分条件 C 充要条件 D非充分非必要条件
答案: D
3．若|a+c|<|b|，则（ ）
A－b B> Ca＋>b＋ Da>ab
答案：B
提示：∵00
6．若b<0bd B> Ca＋c>b＋d Da－c>b－d
答案: C
7．已知1N DM与N大小不确定
答案: C
提示: M－N＝－x2＋4x－3=－(x－2)2－1, x∈(1, 3), M－N>0
8．已知ab≠0，则>1是<1的（ ）条件
A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件D非充分非必要条件
答案: A
提示:∵ab≠0，>1 ,若a>0, b>0,则b>a>0,
∴<1; 若a<0, b<0,则ba, b>, 2a<1, 2abf C>f B，则下列各式中（ ）成立
A(a－1)(c－1)>0 Bac=1 Cac>1 Dac<1
答案: D
提示: 用图象分析, a<1, b<1, c>1,又f A>f C，>c, ∴ac<1
16．不等式＋>2成立的充要条件是
答案: ab>0且a
17．若a>0, b>0, a＋b=1，比较大小： 2
答案: ≤
18．已知lgx＋lgy=2，则＋的最小值是
答案:
提示: xy=100, ＋≥2=
19．当x≠0时,的最大值是
答案:
20．若直角三角形的周长为2，则它的最大面积是
答案: 3－2
提示: 设斜边为 c, a=csinα, b=ccosα, a＋b＋c=2, c(1＋sinα＋cosα)=2, c[1＋sin(α＋)]=2, c≤=2(－1), S△=c2sin2α≤c2=3－2
21．若2x2＋3y2=64，则x2＋y2的最大值是
答案: 32
提示: x2＋y2=, x2≤32, ∴x2＋y2≤32
22．若不等式<1对于x取一切实数都成立，则k值的范围 是
答案: 10, 对于x取一切实数都成立, ∴<0,解得k2－4k＋3<0, ∴10对于x的任意值都成立，则k值为
答案: 0≤k<4
提示: 当k=0时, 不等式成立，当k≠0时, 要求k>0且<0,解得00，则x= , y=
答案: x=±, y=±1
提示: ∵ xy>0, ∴8x2＋＋≥3=6,当8x2==时,等号成立，∴x=±, y=±1
26．设－1y>1，且0a; ③ logxloga ()，其中正确的个数为（ ）
A1 B2 C3 D4
答案：D
28 下列命题：① a≥ba－b≥0; ② 3≥5是矛盾不等式; ③ x2－2x＋2>0是条件不等式; ④ a＋1>1是绝对不等式其中真命题的个数为（ ）
A0个 B1个 C2个 D3个
答案：C提示：①、②是真命题
29 设数轴（方向由左向右）上的点M、N分别对应于坐标xM、xN,且xMb, a2>b则a1>a2; ② 若ac>bc, 则c>0;
③ 由lg>lg, 2>1,有2lg>lg; ④ a>b,则<,其中不能成立的个数是（ ）
A1个 B2个 C3个 D4个
答案：D
31 若a3<－6,下列关系式中正确的是（ ）
Aa4>－6a Ba2<－6/a Ca3－1<－8 Da>
答案：A
32 下列命题：①不等式两边减去同一个数或式子，不等号方向不变；②两个不等式两边分别相加得到与被加式同向的不等式；③不等式两边改变符合时，不等号反向；④两个同向不等式的对应边相乘，方向不变；⑤两个异向不等式的对应边相除新不等式与被除式同向其中正确命题的个数是（ ）
A3个 B4个 C2个 D5个
答案：C提示：①, ③正确
33 设a>b>0, 0 b·lg(sinx) Ba·lg(sinx)< b·lg(sinx)
Ca·lg(sinx)≥ b·lg(sinx) Da·lg(sinx)≤ b·lg(sinx)
答案：D 提示：lg(sinx)≤0, ∴a·lg(sinx)≤ b·lg(sinx)
34 若a－b>a, a＋b0, b>0 Ba>0, b<0 Ca<0, b<0 Da<0, b>0
答案：C
35 下列推导中，不正确的是（ ）
Ac－ab B<, c>0a>b
Ca>b>0, c>d>0 Dac; ② a＋b=c＋d; ③ a＋dc>d>a Ba>d>c>b Cd>b>a>c Db>d>c>a
答案：D
37 下列命题中正确的是（ ）
A由不等式M可以导出不等式N，则M是N成立的必要条件
BM≥N是M>N成立的充分条件
C不等式M与不等式N两者等价，则M是N的充要条件
D不等式M不成立时，不等式N也不成立，则M是N的充分条件
答案：C
38 若a,b∈R, c∈Q, 则使ac >bc成立的充分条件是（ ）
Aa>b>0, c<0 Ba>b, a>0, c>0 Cb>a>0, c<0 Db>a>0, c>0
答案：C
39 下列不等式在a、b>0时一定成立的是（ ）
A≤≤≤
B≤≤≤
C≤≤≤
D≤≤≤
答案：A
40 a>0, a≠1，P＝log a(a3+1), Q=log a(a2+1), 则P、Q的大小关系是（ ）
AP>Q BP1, 当00>b, 则 (填“>”,“<”或“=”)
答案：>
45 若a>0,b<0,a＋b>0,则a、b、－a、－b的大小关系是
答案：a>－b>b>－a
46 介于两个连续自然数之间，这两个数是
答案：3, 4 提示：=lg(24×32×7)=lg1008,
∴3<<4
47 若不等式A与不等式B等价，则A是B的 条件；若由不等式A可以导出不等式B，则A是B的 条件
答案：充要条件；充分条件
48 当条件 满足时，成立
答案：ab>0, a>b或a<0,b>0
49 在用分析法证明不等式过程中，前面的不等式是后面不等式的 条件；后面不等式是前面不等式的 条件
答案：必要条件；充分条件
50 使不等式a2>b2, >1, lg(a－b)>0, 2 a>2b－1都成立的a与b的关系式是
答案：a>b＋1且b>0
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