题目 第七章直线和圆的方程直线方程
高考要求
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程
知识点归纳
1数轴上两点间距离公式：
2直角坐标平面内的两点间距离公式：
3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°
可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）
5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量
向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝(0,1)
6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=
③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=
平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率
对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank
7直线方程的五种形式
点斜式：， 斜截式：
两点式：， 截距式：
一般式：
题型讲解
例1 已知△ABC的三个顶点是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三条边所在的直线方程
分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式
解：①因△ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（－6，0），
故B点在y轴上，C点在x轴上，
即直线BC在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距为3，
利用截距式，直线BC的方程为+=1，
化为一般式为x－2y+6=0
②由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3
又由顶点A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3故k=－
于是直线AB的方程为y=－x+3，化为一般式为7x+3y－9=0
③由A（3，－4）、C（－6，0），
得直线AC的斜率kAC==－
利用点斜式得直线AC的方程为
y－0=－（x+6），
化为一般式为4x+9y+24=0
点评：本题考查了求直线方程的基本方法
例2 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，
∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－
∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙
例3 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
∴方程为2x+3y－12=0
点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值
例4 过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程;
(2)当|PA|(|PB|取最小值时，求直线的方程
解：(1)设所求的直线方程为(a>0,b>0),
由已知
于是=,∴SΔ AOB=(4,
当且仅当,即a=4,b=2时取等号,
此时直线的方程为,即x+2y─4=0
(2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k)
则|PA|(|PB|==(4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,
又k<0,∴k=─1, 此时直线的方程为x+y─3=0
解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2),
∴|PA|(|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ(4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA|(|PB|取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0
点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式
例5 直线被两条直线:4x+y+3=0和:3x─5─5=0截得的线段中点为P(─1,2),求直线的方程
解：设点(a,b)在上，依题意，(─2─a,4─b)在直线上,
∴ ,解之得：
由两点式得直线AB的方程为:3x+y+1=0
例6 已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k与倾斜角α；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m∈［－－1，－1］，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角α＝．
当m≠－1时，k＝，
当m＞－1时，α＝arctan，
当m＜－1时，α＝π＋arctan．
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：y－2=（x+1）．
（3）①当m=－1时，α＝；
②当m≠－1时，
∵k＝∈（－∞，－］∪［，＋∞），
∴α∈［，）∪（，］
故综合①、②得，直线AB的倾斜角α∈［，］
例7 求满足下列条件的直线的方程
⑴在y轴上的截距为，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6
⑵与直线的夹角为，且焦点在x轴上
解：⑴设直线的方程为，由题意得，
当时，直线的方程为即
当时，直线的方程为即
⑵直线交x轴于点（），可设的方程为由两直线夹角公式有，或
的方程为或，
即或
点评：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数
小结：
1直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些
2注意斜率和倾斜角的区别
3直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解
4如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合
学生练习
1直线xtan+y=0的倾斜角是
A－ B C D
解析：k=－tan=tan（π－）=tan且∈［0，π）
答案：D
2过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是
A－ B－ C D2
解析：求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y=0即得
答案：A
3直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
A［，）∪（，］ B［0，］∪［，π）
C［0，］ D［，］
解析：设直线的倾斜角为θ，
则tanθ=－cosα又－1≤cosα≤1，
∴－≤tanθ≤∴θ∈［0，］∪［，π）
答案：B
4直线y=1与直线y=x+3的夹角为___________
解法一：l1：y=1与l2：y=x+3的斜率分别为k1=0，k2=由两直线的夹角公式得 tanα=｜｜=，所以两直线的夹角为60°
解法二：l1与l2表示的图象为y=1与x轴平行，y=x+3与x轴倾斜角为60°，所以y=1与y=x+3的夹角为60°
答案：60°
5下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示其中真命题的个数是
A0 B1 C2 D3
解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线只有②正确
答案：B
6．过点(10,─4)且倾角的正弦为5/13的直线方程是
(5x─12y─98=0或5x+12y─2=0);注意两种情况
7．过点(1,2)且与圆x2+y2=1相切的直线方程为
(x=1或3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围
8．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
(1/2(m(1);从直线的斜率或截距去观察
9．过点A(2,1),且在x,y轴上截距相等的直线方程是
(x+y=3或y=x/2)强调：截距式的使用范围
10．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是
( ─1/3)
解：由于将直线平移不影响其斜率的值,故可设点O(0,0)在直线上，则依题意O点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l过两点P,O,求出斜率即可
课前后备注
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