题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体空间直线
高考要求
1能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形 能够根据图形想像它们的位置关系
2会用几何法或向量法计算两异面直线的夹角和距离
知识点归纳
1 空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：．
3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等
5空间两条异面直线的画法
6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
推理模式：与是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作．
9．求异面直线所成的角的方法：
几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
向量法：用向量的夹角公式
10两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线
理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．
两条异面直线的公垂线有且只有一条
计算方法：①几何法；②向量法
题型讲解
例1 A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角
（1）证明：用反证法
假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线
（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°
点评： ①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”注意，异面直线所成角的范围是（0，］
例2 长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C
（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值
（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，
故AB与CC1的距离为b
AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c
过B作BE⊥B1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即AB与B1C的距离为
（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角
∵AO=，
OF= BD1=，
AF=，
∴在△AOF中，
cos∠AOF==
解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角
BD1=，
BG=，
D1G=，
在△D1BG中，
cos∠D1BG==－，
故所求的余弦值为
解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算
例3 设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?
解：过点O作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1、b1确定一平面αa1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a1于点C，BD⊥b1于点D，记∠AOB=θ1，∠BOC=θ2（θ2=25°或65°），则有cosθ=cosθ1·cosθ2因为0°≤θ1≤90°，所以
0≤cosθ≤cosθ2
当θ2=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；
当θ2=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°
故当θ<25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；
当25°<θ<65°时，直线l有且仅有2条；
当θ=65°时，直线l有且仅有3条；
当65°<θ<90°时，直线l有且仅有4条；
当θ=90°时，直线l有且仅有1条
点评：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角上述解答首先将问题转化为：求过点O与a1、b1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数
例4 如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== 试求的值
解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==，
所以AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1
由平移角定理得
∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，
ABC∽△A1B1C1，
所以=（）2=
点评：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题
例5 ⑴已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是（ ）
A 或 B >或 < C > D <
⑵已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( )
A 1条 B 2条 C 3条 D 4条
⑶异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60°,则的取值可能是( )
A 30° B 50° C 60° D 90°
⑷一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 个面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面
分析与解答:
⑴ 如图所示,
易知直线上点Ａ在平面上的射影是点B,过点B作BC⊥b,
则AC⊥b 在Rt△OBC和Rt△OAC中，,=显然，AC>BC,
∴tan> tan,又、（0，，∴＞故选C
⑵如图所示，
过空间一点O分别作∥a,∥b, 则构成角或 70
所求直线即为过点O且与都成60角的直线
当=110，∴，∴将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都60角的直线两条
当=70时，同理
故 过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选 D
⑶过点O分别作∥a,∥b,则过点O有三条直线与
a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与 所成角都为60，
如图所示，
则=60， ，此时过点 O有三条直线与所成角都为60其中一条正是角的平分线
⑷①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面
点评： 本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位直关系，考查空间想象和转化能力，以及周密的分析问题和解决问题
小结：
1本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角
2证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形
学生练习
1若a，b是异面直线，则只需具备的条件是
Aa平面α，b平面α，a与b不平行
Ba平面α，b平面β，α∩β=l，a与b无公共点
Ca∥直线c，b∩c=A，b与a不相交
Da⊥平面α，b 是α的一条斜线
答案：C
2如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有
A1条 B2条 C3条 D4条
解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条
答案：C
3如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是
A B C D
解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，
∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，
则BD=BE= a，DE= a，
cos∠BDE==
答案：C
4正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a， 那么
（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线:__________
（2）直线BA1与CC1所成角的大小为________
（3）直线BA1与B1C所成角的大小为________
（4）异面直线BC与AA1的距离为________
（5）异面直线BA1与CC1的距离是________
答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD
（2）45° （3）60° （4）a （5）a
5正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是__________
解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质可得FE1∥BC1，
在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，
∴FD==
在△EFE1和△EE1D中，易得E1F=E1D==，
∴△E1FD是等边三角形，∠FE1D=60°
而∠FE1D即为E1D与BC1所成的角
答案：60°
6两条相交直线l、m都在平面α内且都不在平面β内命题甲：l和m中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充要条件 D非充分非必要条件
解析：若l和m中至少有一条与β相交，不妨设l∩β=A，则由于lα，∴A∈α而A∈β，∴α与β相交反之，若α∩β=a，如果l和m都不与β相交，由于它们都不在平面β内，
∴l∥β且m∥β∴l∥a且m∥a，进而得到l∥m，与已知l、m是相交直线矛盾因此l和m中至少有一条与β相交
答案：C
7在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A B C D
解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H在△FHD1中，
FD1=，FH=，D1H=
由余弦定理，得∠D1FH的余弦值为
解法二：取BC的中点G连结GC1∥FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角
在△OEH中，OE=，HE=，OH=
由余弦定理，可得cos∠OEH=
答案：B
8四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________
解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=
由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG
在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD所成的角
答案：30°
9在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
答案：arctan2
10设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1
求证：AA1、BB1、CC1三线共点
证明：不妨设AB≠A1B1，AA1∩BB1=S，∵BC∥B1C1，∴BB1面BCC1B1，S∈面BBC1B1同理，S∈面ACC1A1∴S∈CC1，即AA1、BB1、CC1三线共点于S
11在三棱锥A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角
解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF（或其补角）是直线AD与BC所成的角在△EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cos∠EMF==－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的角为60°
12在三棱锥P—ABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PE∶EC=AF∶FB=3∶2
（1）求证：PA⊥BC；
（2）设EF与PA、BC所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°
证明：（1）取BC的中点D，连结AD、PD
则BC⊥平面ADP，AP平面ADP，∴AP⊥BC
（2）在AC上取点G，使AG∶GC=3∶2，连结EG、FG，则EG∥PA，FG∥BC，从而∠EGF为PA与BC所成的角，由（1）知∠EGF=90°，
而∠GEF、∠GFE分别是EF与PA、EF与BC所成的角α、β，
∴α+β=90°
13如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角
解：取BC的中点E，连结EN、EM，
∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角
在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°
∴异面直线AC与BD所成的角是60°
课前后备注
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