题目
(选修Ⅱ)第三章导数







导数的概念与和、差、积、商的导数 高考要求
1
了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义； 3
理解导函数的概念
熟记基本导数公式； 4
掌握两个函数和、差、积、商的求导法则
5
了解复合函数的求导法则
会求某些简单函数的导数
6
理解可导函数的单调性与其导数的关系； 7
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)； 8
会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值
知识点归纳
1
导数的定义：设函数
在
处附近有定义，如果
时，
与
的比
（也叫函数的平均变化率）有极限即
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
在
处的导数，记作
，即
2
导数的几何意义：是曲线
上点（
）处的切线的斜率
因此，如果
在点
可导，则曲线
在点（
）处的切线方程为

3
导函数(导数):如果函数
在开区间
内的每点处都有导数，此时对于每一个
，都对应着一个确定的导数
，从而构成了一个新的函数
, 称这个函数
为函数
在开区间内的导函数，简称导数， 4
可导: 如果函数
在开区间
内每一点都有导数，则称函数
在开区间
内可导
5
可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立
函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件
6
求函数
的导数的一般方法： （1）求函数的改变量

（2）求平均变化率

（3）取极限，得导数
＝


7
常见函数的导数公式：
；
；
；


；
；



8
和差的导数：
． 9
积的导数：
,

10
商的导数：

题型讲解
例1 若f′（x0）=2,求


分析:根据导数的定义
解:f′（x0）=

（这时Δx=－k）
∴

=
［－
·
］ =－
·

=－
f′（x0）=－1
点评: 注意f′（x0）=

中Δx的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx=－k,k→0
－k→0, ∴f′（x0）=

, 还可以写成f′（x0）=

或 f′（x0）=
［f（x0+
）－f（x0）］等
例2 若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数
分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性
（1）解:设f（－x）=g（x）,则 g′（a）=

=

=－

=－f′（－a）
∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数
（2）证明:f′（－x）=

=

=－

=－f′（x）
∴f′（x）为奇函数
点评:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致
例3 求下列函数的导数： （1）y=x2sinx; （2）y=ln（x＋
）; （３）y=
; （４）y=

解:（1）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（2）y′=
·（x＋
）′ =
（1＋
） =

（３）y′=
=

（4）y′=
=
=

例4 （1）求曲线
在点（1，1）处的切线方程； 　　（2）运动曲线方程为
，求t=3时的速度
　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在
处的导数就是曲线y=f(x)在点
处的切线的斜率
瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
　　解：（1）
， 　　
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 　　因此曲线
在（1，1）处的切线方程为y=1 　　（2）
　　
　　

例5 下列函数的导数 ①
②
分析：利用导数的四则运算求导数 ①法一：

∴
法二：
=
+


②
∴
例6 如果曲线
的某一切线与直线
平行，求切点坐标与切线方程
解：
切线与直线
平行， 斜率为4 又切线在点
的斜率为
∵
∴

或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为
或
即
或

小结： 1
求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法： （1）导数的定义，即求

的值
（2）利用导函数的函数值,即先求函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f′（x）,再将x0（x0∈（a,b））代入导函数f（x）,得函数值f′（x0）
2
在解导数题时，要理解导数的概念，熟记基本函数的导数和导数的运算法则，然后根据基本函数确定使用什么方法求解
学生练习
1
在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则
为 A
Δx+
+2 B
Δx－
－2 C
Δx+2 D
2+Δx－
解析:
=
=Δx+2
答案:C 2
设函数f（x）在x=x0处可导,则

A
与x0,h都有关 B
仅与x0有关而与h无关 C
仅与h有关而与x0无关 D
与x0、h均无关 答案:B 3
设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于 A

B

C

D

解析:f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=

答案:D 4
曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A
y=3x－4 B
y=－3x+2 C
y=－4x+3 D
y=4x－5 解析:y′=3x2－6x,∴y′|x=1=－3
∴在（1,－1）处的切线方程为y+1=－3（x－1）
答案:B 5
函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于 A
1 B
2 C
3 D
4 解析:y′|x=1=［（x2+2x+1）（x－1）］′|x=1=［x3+x2－x－1］′|xx=1=（3x2+2x－1）| x=1=4
答案:D 6
已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 A
f（x）=（x－1）2+3（x－1） B
f（x）=2（x－1） C
f（x）=2（x－1）2 D
f（x）=x－1 答案:A 7
函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为___________
解析:设点A的坐标为（x0,y0）, 则y′|x=x
=2x|x=x
=2x
=k1,又直线3x－y+1=0的斜率k2=3
∴tan45°=1=
=|
|
解得x0=
或x0=－1
∴y0=
或y0=1,即A点坐标为（
，
）或（－1，1）
答案:（
，
）或（－1，1） 8
曲线y=2－
x2与y=
x3－2在交点处的切线夹角是__________
（以弧度数作答） 解析:由
得x3+2x2－16=0,（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
∴两曲线只有一个交点
∵y′=（2－
x2）′=－x,∴y′|x=2=－2
又y′=（
－2）′=
x2,∴当x=2时,y′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |
|=1
∴夹角为

答案:
9
设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,

=2,求f′（1）
解:∵f（1）=0,

=2, ∴f′（1）=

=

=

=2
10
设函数y=ax３＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－４=0
若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式
解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P（0,d）
又曲线在点P处的切线方程为y=12x－４，P点坐标适合方程，从而d=－４
又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜x=0=12,而y′=３ax2＋2bx＋c，y′｜x=0=ｃ，从而 c=12
又函数在x=2处取得极值0，所以y′｜x=2=0, f（2）=0, 即12a＋４b＋12=0, ８a＋４b＋20=0
解得a=2，b=－9
∴所求函数解析式为y=2x3－9x2＋12x－４
课前后备注
　

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