三、函数的基本性质 (一)函数的单调性 1、单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调 区间。 2、函数单调性的判断方法 (1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为 第一步：取值。设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10，则f(x)在(a,b)上递增；若当x∈(a,b)时，f′(x)<0，则f(x)在(a,b)上递减。 例 讨论函数在(-2，+∞)上的单调性。 解析 设-20，即时，上式<0，即f(x2)0，即f(x2)>f(x1)。 ∴当时，在(-2，+∞)上为减函数 当时，在(-2，+∞)上为增函数 3、复合函数的单调性 对于复合函数y=f［g(x)］，若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数；若t=g(x)与y=f(t)单调性相同(同时为增或减)，则y=f［g(x)］为增函数，若t=g(x)与g=f(x)单调性相反，则y=f［g(x)］为减函数，简单地说成“同增异减”。 y=f(t) 增 减 增 减  t=g(x) 增 减 减 增  Y=f［g(x)］ 增 增 减 减  (二)函数的最大(小)值 1、定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满： (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。 同样地：如果存在实数M满足： (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那么我们称M是函数的最小值。 2、二次函数在闭区间上的最值 二次函数f(x)=ax2+bx+c，当a>0时，在闭区间［m,n］上的最值可分如下讨论：[来源:] ①若时，则最大值为f(n)，最小值为f(m)； ②若时，则最大值为f(m)，最小值为f(n)；[来源: ] ③若时，则最大值为f(m)或f(n)，最小值为. 例 已知，若f(x)=ax2-2x+1，在［1，3］上最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式。 解析 . ∵，∴. 又∵∈［1，3］. ∴当， f(x)min=N(a)= 当，即时， f(x)max=M(a)=f(3)=9a-5. 当时， f(x)max=M(a)=f(1)=a-1 ∴ (三)函数的奇偶性 1、定义 偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 2、函数奇偶性的性质 (1)若函数f(x)是偶函数，那么： ①对任意定义域的x,都有f(-x)=f(x)； ②函数f(x)的图象关于y轴对称； ③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相反的。 (2)若函数f(x)是奇函数，那么： ①对任意定义域内的x，都有f(-x)=-f(x)； ②函数f(x)的图象关于坐标原点对称； ③函数f(x)在两个半对称区间上的单调性是相同的。 3、函数奇偶性的判定方法 (1)定义法 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 (2)利用图象的对称性 f(x)是奇函数的图象关于原点对称。 f(x)是偶函数的图象关于y轴对称。 例 设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f (x+y) =f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2。 (1)求证：f(x)为奇函数 (2)试问在-3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。 解析 (1)∵f(x)对于任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立 ∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0 再令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数。 (2)设x10时，f(x)<0，∴f(x2-x1)<0，即f(x2)-f(x1)<0[来源: ] ∴f(x2)
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