集合与函数概念
一、集合的基本概念与运算
(一)元素与集合
1.集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。通常用大写字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。
2.集合中元素的特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。
(3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就是说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
例 已知
[来源:]
解析 ① ②
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x= -1或1(舍去)
这时y=0
∴x= -1，y=0
6、集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。
适用条件：有限集或有规律的无限集
形式：
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。
形式：，其中x为元素，p(x)表示特征。
(3)韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩形等)内。
例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集： (1)由所有非负奇数组成的集合；
(2)由所有小于10既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；
(4)方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。
解析 (1)由所有非负奇数组成的集合可表示为：
，A是无限集。
(2)满足条件的数有3，5，7，所以所求集合为：，集合 B是有限集。
(3)所求集合可表示为：，集合C是无限集。
(4)因为方程x2+x+1=0的判别式的Δ<0，故无实数，所以方程x2+x+1=0的实根组成的集合是空集。
(二)集合的基本关系
1、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作，读作“A含于B”(或“B包含A”)。
数学表述法可简述为：若，则集合A是集合B的子集。(如图)
2、集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。数学表述法可描述为：对于集合A、B，若，且，则集合A、B相等。
3、真子集：若集合，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
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（三）集合间的基本运算
1、并集
一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作 (读作“A并B”)，即
可用Venn图表示为
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2、交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“A交B”)，即。
[来源:]
可用Venn图表示为
3、全集与补集
(1)全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
(2)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作。
例 设集合，若A∩B=，求A∪B。
解析 由A∩B=得，9∈A。
∴x2=9或2x-1=9
①由x2=9得，x=±3。当x=3时，，与元素的互异性矛盾。
当x=-3时，，此时，
②由2x-1=9得x=5.
当x=5时，，此时，，与题设矛盾。
综上所述，
4、集合中元素的个数：（不做要求）
在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。例如：.
一般地，对任意两个有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
当时仅当A∩B=时，card(A∪B)=card(A)+card(B).
解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。
例 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
解析 设，，那么
，
Card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
=8+12-3=17
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛
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