专题三 函数的定义域和值域
一、函数的定义域
1．函数定义域的求解方法
求函数的定义域主要是通过解不等式（组）或方程来获得．一般地，我们约定：如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合．
（1）若是整式，则定义域为全体实数．
（2）若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数．
（3）若是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数．
（4）若为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定．如：的定义域为，则复合函数的定义域应由不等式≤≤解出．
（5）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定．
2．求函数定义域的常见问题
（1）若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解．
（2）由的定义域，求复合函数的定义域问题，实际上是已知中间变量的值域，求自变量的取值范围问题．
（3）对含字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论．
（4）若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义．
3．典例剖析
例1 求函数的定义域．
分析：一般说来，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
解：要使函数有意义，必须有即解得≤，且．
故原函数的定义域为≤，且．
评注：用已知函数通过有限次加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，一般列不等式（组）求函数的定义域，这时考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来．
二、函数的值域
1．求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法，常用的方法有：
（1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域．
（2）配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数型的值域的方法求函数的值域．
（3）判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等．使用此法要特别注意自变量的取值范围．
（4）换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域．
例2 求函数的值域．
解：令，则，
∴函数值域为．
评注：换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见、简单的表达式．换元多用于处理可化简为二次函数的问题．需要注意的是，在换元后新变量的定义范围．
（5）利用函数的单调性
例3 求的值域．
解： ∵， ∴的值域为
评注：形如的函数的值域问题，均可使用配方法
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还常利用反函数、最值法、数形结合等，但要注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
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