圆锥曲线与方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．
2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：
1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：
①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．
②圆锥曲线的几何性质的应用．
2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．
3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．
4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．
第1课时 椭圆
1．椭圆的两种定义
(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ．
②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．
(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ．
2．椭圆的标准方程
(1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )
(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ．
（3）焦点在哪个轴上如何判断？
3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)
(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．
(4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 ．
(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则 ，= 。
4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：
(1) 定义：r1＋r2＝2a
(2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2
(3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)
变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r.
∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（3）求的最大值和最小值．
解：（1）由抛物线方程，得焦点．
设椭圆的方程：．
解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ． …………2分
∴又，
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ． …………4分
（2），
圆过点O、，
圆心M在直线上．
设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
（3） 由
①若垂直于轴，则，
，
…………………………………………9分
②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为
由 得
，方程有两个不等的实数根．
设，.
, ………………………………11分
=
，所以当直线垂于轴时，取得最大值
当直线与轴重合时，取得最小值
变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程；
(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ) 设C（x, y）,
∵ , ,
∴ ,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ . ∴ .
∴ W: . …
(2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得. ①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴ 满足条件的k的取值范围为
（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②[来源: ]
又 ③
因为，， 所以.………
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.
例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（1）求椭圆W的方程；
（2）求证： ()；
（3）求面积的最大值.
解：（1）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分
（2）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．
得.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，，．
因为，，
所以，.
又因为
，
所以． ……………………………………………………………10分
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得
,
所以，，三点共线，即．…………………………………10分
(3)由题意知
，
当且仅当时“=”成立，
所以面积的最大值为．
变式训练4：设、分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）易知
设P（x，y），则
，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时，设交点C，CD的中点为R，
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|
综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．
2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．
3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是．
4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．
5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视．
第2课时 双 曲 线
例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).设双曲线的方程为 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以
解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b－18150=0 （3）
解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为：
例3. 中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．
解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．
变式训练3：已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.
（1）解：依题意有：
可得双曲线方程为
（2）解：设
所以
例4. 设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。
解：（1）由题，得，设
则
由 …………①
又在双曲线上，则 …………②
联立①、②，解得
由题意，
∴点T的坐标为（2，0） …………3分
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）
由A1、P、M三点共线，得
…………③ …………1分
由A2、Q、M三点共线，得
…………④ …………1分
联立③、④，解得 …………1分[来源: ]
∵在双曲线上，
∴
∴轨迹E的方程为 …………1分
（3）容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为 中，得
设
则由根与系数的关系，得 ……⑤
……⑥ …………2分
∵ ∴有
将⑤式平方除以⑥式，得
…………1分
由
…………1分
∵
又
故
令 ∴，即
∴
而 ， ∴
∴[来源:]
变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。
解（1）设双曲线C的方程为
又P（6,6）在双曲线C上，
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。
（2）由双曲线C的方程可得
所以△A1PA2的重点G（2,2）
设直线l的方程为代入C的方程，整理得
整理得
解得
由③，可得
解得
由④、⑤，得
5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．
第3课时 抛 物 线
1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．
2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
① ，焦点为 ，准线为 ．
② ，焦点为 ，准线为 ．
③ ，焦点为 ，准线为 ．
④ ，焦点为 ，准线为 ．
3．抛物线的几何性质：对进行讨论．
① 点的范围： 、 ．
② 对称性：抛物线关于 轴对称．
③ 离心率 ．
④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．
⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)
i) 若，，则＝ ， ．
ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝
．
特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝ ．
iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）．
iv) 为定值，且等于 ．
例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．
解：设抛物线方程为，则焦点是F
∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5
故解得P＝4，
故所求抛物线方程为
变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．
解：因为对称轴是轴，可设抛物线方程为或 ∵，∴p＝12
故抛物线方程为或
例2. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
(1) 若，求直线l的方程．
(2) 求的最小值．
解：(1)解法一：
设直线的方程为：
代入整理得，
设
则是上述关于的方程的两个不同实根，所以
根据抛物线的定义知：| AB |＝
＝
若，则
即直线有两条，其方程分别为：
解法二：由抛物线的焦点弦长公式
|AB|＝(θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝±，
即直线AB的斜率k＝tanθ＝±，
故所求直线方程为：
或.
(2) 由(1)知，
当且仅当时，|AB|有最小值4．
解法二：由(1)知|AB|＝＝
∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°)
变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无数条 D．不存在
解：B
例3. 若A(3，2)，F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的P的坐标．
解：抛物线的准线方程为
过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ |
要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点
从而|PA|＋|PF|的最小值为
此时P的坐标为(2，2)
1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 .
答案
变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。
解：
例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？
(2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围．
解：(1)F∈l|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于
y1＝y2(x1＋x2)(x1－x2)＝0
∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0
即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F．
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m
所以x1、x2满足方程：2x2＋x－m＝0
且x1＋x2＝－，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝＋8m＞0，即m＞－
设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝
y0＝－x0＋m＝＋m
由N∈l得：＋m＝－＋b
于是b＝＋m＞－＝
即l在y轴上截距的取值范围是(，＋)
变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积．
设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1．
∴ ＝＝1，即y1＋y2＝1 ①
又| CD |＝＝
＝(y1－y2)
| BC |＝(y12－y1＋4恒正)
由| CD |＝| BC |，有(y1－y2)＝ ②
解①、② 得 y1＝2或y1＝3
当y1＝2时，有| BC |＝3，此时SABCD＝18
当y1＝3时，有| BC |＝5，此时SABCD＝50
∴ 正方形的面积为18或50．
1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．
2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．
3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．
4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．
第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）
2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————．
利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．
当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．
3．中点弦问题：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得
即 ．
对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．
例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．
(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？
(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
解： (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ①
显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．
若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：
a∈(－，－)∪(，)
若A、B分别在双曲线的两支上，则有：
a∈(－，)
(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝．
∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1
＝a2·＋a·＋1＝1
∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1
此时△＞0，符合要求．
变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.
解：联立方程为
(1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解
(2) 当a≠0时，消去x得
① 若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解
② 若≠0，即a≠－1，令△＝0
得1＋，解得a＝－
此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．
例2. 已知双曲线方程2x2－y2＝2.
(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；
(2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：
∴ ∴
所求中点弦所在直线为，即．
(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即
方法同(1)，联立方程，消去y,得
然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．
变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ）
A．2 B．－2
C． D．－
解：D
例3. 在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则
∵点在直线上，∴
∴，代入，得，即
解得
解法二：设，关于对称，中点，则
相减得：
∴，则
∵在抛物线内部，∴
化简而得，即，解得．
变式训练3：设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 .
解：8
例4. 已知椭圆＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．
(1) 求t表示△ABC的面积S( t )；
(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值．
解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，
由 得
∴ y＝0或y＝
∴ 点B的纵坐标为
∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB
＝
(2) 当a＝2时，S(t)＝＝
∵ t∈[，1]，∴ 4t＋≥2＝4
当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.
∴ S(t)＝≤＝2
即S(t)的最大值S(t)max＝2
变式训练4：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆C的方程.
解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）
A（0，b）知
…2分
设，得……
因为点P在椭圆上，所以……
整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝……
⑵由⑴知，
于是F（－a，0）， Q
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a………
所以，解得a=2，∴c=1，b=，
所求椭圆方程为
1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．
2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．
3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．
圆锥曲线单元测试题
一、选择题
1． 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是 （ ）
A． B．
C． D．
2． AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是 （ ）
A．2 B．
C． D．
3． 若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B．
C．4 D．
4． 已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（ ）
A． B．
C． 2 D．3
5．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为 （ ）
A． B．
C． D．
6．点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B．
C． D．
7． 椭圆上有n个不同的点：P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是 （ ）
A．198 B．199
C．200 D．201
8． 过点(4, 0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（ ）
A．| k |≥1 B．| k | >
C．| k |≤ D．| k | < 1
9． 已知θ为三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示 （ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
10．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1 > e2 > e3 B．e1 < e2 < e3
C．e1＝e2 < e3 D．e1＝e2 > e3
二、填空题
11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是 .
12．双曲线3x2－4y2－12x＋8y－4＝0按向量平移后的双曲线方程为，则平移向量＝ ．
13．P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动，则△F1F2P的重心G的轨迹方程是—————————．
14．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为 .
15．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
① 设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；
② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；
③ 方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④ 双曲线与有相同的焦点．
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题
16．已知双曲线的离心率为2，它的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求双曲线的方程．
17．已知动圆C与定圆x2＋y2＝1内切,与直线x＝3相切.
(1) 求动圆圆心C的轨迹方程；
(2) 若Q是上述轨迹上一点，求Q到点P(m,0)距离的最小值.
18．如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．
(1) 写出直线的截距式方程；
(2) 证明：；
(3) 当时，求的大小．
19．设x，y∈R，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若＝x＋(y＋2)，＝x＋(y－2)，且||＋||＝8
(1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程．
(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.．
[来源: ]
20．动圆M过定点A(－，0)，且与定圆A′：(x－)2＋y2＝12相切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0，2)的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围．
21．已知椭圆的左、右焦点分别是F1(－c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的动点，满足，点P是线段F1Q与椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足＝0，≠0．
(1) 设x为点P的横坐标，证明；
(2) 求点T的轨迹C的方程；
(3) 试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2 ？若存在，求∠F1MF2的正切值，若不存在，请说明理由．
圆锥曲线单元测试题答案
1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1，1) 12. (－2，－1) 13. 14. 9x－32y＋73＝0 15. ③④
16. 解：以焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示：
设双曲线方程为：
依题意有：
解之得：a2＝4，c2＝16，b2＝12
故所求双曲线方程为：
17．解：(1) 设则
⊙C与⊙O内切，
即轨迹方程为
(2) 设，则
当，即时
当，即时，
18．解：(1)
(2) 由直线方程及抛物线方程可得：
by2＋2pay－2pab＝0
故
所以
(3) 设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2
则.
当a＝2p时，知y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2
所以，k1k2＝－1，即MON＝90°．
19．( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,－2)，F2(0，2)
则＝，＝，即
||＋||＝||＋||，即||＋||＝8
又∵ ＝4＝2c，∴ c＝2，a＝4，b2＝12
所求轨迹方程为
( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3k2＋4)x2＋18kx－21＝0
x1＋x2＝－ x1·x2＝
y1·y2＝(kx1＋3) (kx2＋3)＝k2 x1x2＋3k(x1＋x2)＋9
＝
∵ OAPB为矩形，∴ OA⊥OB ＝0
∴ x1x2＋y1y2＝0 得k＝±
所求直线方程为y＝±x＋3．
20．解：(1)A′(，0)，依题意有|MA′|＋＝2
|MA′|＋|MA|
＝2 ＞2
∴点M的轨迹是以A′、A为焦点，2为长轴上的椭圆，∵a＝，c＝ ∴b2＝1．因此点M的轨迹方程为
(2) 解法一：设l的方程为x＝k(y－2)代入，消去x得：(k2＋3)y2－4k2y＋4k2－3＝0
由△＞0得16k4－(4k2－3)(k2＋3)＞0 0≤k2＜1
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝
又＝(x1，y1－2)，＝(x2，y2－2)
∴·＝x1x2＋(y1－2)(y2－2)
＝k(y1－2)·k (y2－2) ＋(y1－2)(y2－2)
＝(1＋k2)
＝
∵0≤k2＜1 ∴3≤k2＋3＜4 ∴·∈
解法二：设过P(0，2)的直线l的参数方程为
(t为参数，为直线l的倾角)
代入中并整理得：
(1＋2sin2)t2＋12sin·t＋9＝0
由△＝122sin2－36(1＋2sin2)＞0
得：sin2＞ 又t1t2＝
∴·＝·cos0°
＝|PE|·|PF|＝t1t2＝
由＜sin2≤1得：·∈
21．(1) 证法一：设点P的坐标为(x，y)
由P(x，y)在椭圆上，得
＝
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