第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示
【2013年高考会这样考】
1．考查平面向量基本定理的应用．
2．考查坐标表示下向量共线条件．
【复习指导】
本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．
基础梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
一个区别
向量坐标与点的坐标的区别：
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
两个防范
(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为( )．
A．(4,3) B．(－4，－3)
C．(－3，－4) D．(－3,4)
解析 a1＋a2＋…＋an－1＝－an＝(－3，－4)．
答案 C
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )．
A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b
解析 设c＝xa＋yb，则∴
∴c＝3a－b.
答案 B
3．(2012·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为( )．
A．－1 B．1 C．－2 D．2
解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ＜0，∴m＝－1.
答案 A
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( )．
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(4，－6) D．(－4,6)
解析 设c＝(x，y)，
则4a＋(3b－2a)＋c＝0，
∴∴
答案 C
5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析 a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，
∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1.
答案 －1
考向一 平面向量基本定理的应用
【例1】?(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
[审题视点] 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.
解析 由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
答案
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
解析 以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，
令AB＝2，则＝(2,0)，＝(0,2)，过D作DF⊥AB交AB的延长线于F，由已知得DF＝BF＝，则＝(2＋， )．
∵＝x＋y，∴(2＋，)＝(2x,2y)．
即有解得
另解：＝＋＝＋，
所以x＝1＋，y＝.
答案 1＋
考向二 平面向量的坐标运算
【例2】?(2011·合肥模拟)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.
[审题视点] 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.
解 ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
∴＝3＝3(1,8)＝(3,24)，＝2＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．
∴得∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )．
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析 由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案 B
考向三 平面向量共线的坐标运算
【例3】?已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
[审题视点] 根据共线条件求k，然后判断方向．
解 若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若这两个向量共线，则必有
(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.
解得k＝－.这时ka＋b＝，
所以ka＋b＝－(a－3b)．
即两个向量恰好方向相反，
故题设的实数k存在．
向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．
【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )．
A. B.
C. D.
解析 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，∴－3×(1＋m)＝2×(2＋n)，又c⊥(a＋b)，
∴3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.
答案 D
阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误
【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．
【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．
【示例】?(2011·湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设误．＝2，＝3，则·＝________.
错因 搞错向量的夹角或计算错
实录 －(填错的结论多种)．
正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底{，}，结合图形可得＝(＋)，＝－＝－，
∴·＝(＋)·＝2－
2－·＝－－cos 60°＝－.
答案 －
【试一试】 (2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
[尝试解析]
以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，
P(0，x)，＝(2，－x)，
＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5.
答案 5
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