几何证明选讲
第一讲 相似三角形的判定及有关性质：
1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1：经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边。 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰。
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．相似三角形的判定及性质：
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理：1）.两角对应相等,三角形相似. 2）.两边对应成比例且夹角相等,三角形相似. 3）.三边对应成比例,三角形相似.
直角三角形相似判定定理：
1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，则它们相似。
2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，则它们相似。
3）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，则它们相似。
4）直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
相似三角形的性质：
1)相似三角形的对应角相等. 2)相似三角形的对应边成比例. 3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 4)相似三角形的周长比等于相似比. 5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6)相似三角形外接圆的的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
4.直角三角形的射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，每一条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
Rt△ABC ,∠C=900,AD⊥CD BC2=AB·BD CD2=AD·BD CA2=AD·AB
第二讲 直线与圆的位置关系
1圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 ：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
2.圆内接四边形的性质与判定定理：
性质定理1：圆内接四边形的对角互补。
性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
3.圆的切线的性质及判定定理：
圆的切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
4.弦切角的性质：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
（它是圆中证明角相等的重要定理之一） 推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
如图：TC为圆O切线，∠BTC=∠BAT
注：弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角
叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种
角必须满足三个条件： 1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； 2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； 3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线． 它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。
5.与圆有关的比例线段：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如下图：PA·PB = PC·PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如右上图：PA2=PB·PC=PS·PT
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
6.其它：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一 条弧
有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （2R在同一个三角形中是恒量，是外接圆的半径的两倍）
余弦定理：, ,
三角形的内角平分线定理：AD为角BAC的角平分线
则：
7.常用方法：
? 证明等积式或比例式，通常利用相似；
? 找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；
? 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
? 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
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