双曲线及其标准方程
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．
(二)能力训练点
在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
(三)学科渗透点
本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
二、教材分析
1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
(解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．)
2．难点：双曲线的标准方程的推导．
(解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．)
3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？
(解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．)
三、活动设计
提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．
四、教学过程
(一)复习提问
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|．
2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
1．简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．
2．设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答，不能．强调“在平面内”．
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．
3．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
(三)双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2．
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
(四)练习与例题
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹．
(五)小结
1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
3．图形(见图2-25)：
4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．
5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．
五、布置作业
1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；
3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．
作业答案：
2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
六、板书设计
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