斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段．
2．有关平面的斜线的几个概念．
3．有关射影的几个概念．
4．射影定理．
5．有关直线和平面成角的几个概念．
（二）能力训练点
1．加深对数学概念的理解掌握．
2．初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念．
2．教学难点：定理的理解及有关直线与平面成角的练习．
3．教学疑点及解决方法：
（1）“ 斜线在平面上的射影”是“直线和平面所成的角”的基础；“斜线在平面上的射影”这一小节出现概念较多，为了便于学生理解和记忆，可以边画出课本的图形1-30边讲解，结合图形记忆，快而且准．教学中，一般先画出斜线AC与平面α斜交于C，再过AC上一点A引AB⊥α，垂足为点B，连结BC，然后指出AC是平面α上的斜线；线段AC是点A到平面α的斜线段，线段AB是点A到平面α的垂线段，点B是点A到平面α的垂线的垂足，直线BC是线段AC在平面α上的射影．
（2）斜线段在平面上的射影是一条线段，斜线在平面上的射影是直线，垂线和垂线段在平面上的射影退化成一个点．
（3）为照顾一般习惯说法，课本中定义射影是用“在平面上”，而说点、直线“在平面内”，并非不同．
（4）射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的，否则，结论不成立．
（5）直线和平面相交，它们的相互位置与两条相交直线一样，仍需用角来表示，但过交点在平面内可以作许多条直线，与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不相等的，为了定义的准确性，所以取这些角中有确定值的最小角，也就是取该斜线与其在平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角；
（6）直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划；反之，由直线和平面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置：
②直线和平面平行或直线在平面内，θ＝0°．
③直线和平面成角的范围是0°≤θ≤90°．
三、课时安排
1课时．
四、学生活动设计
常规活动．（略）
五、教学步骤
（一）新课概念教学
1．点在平面上的射影，点到平面的垂线段自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影．这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．
2．平面的斜线的有关概念
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
3．射影的有关概念
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的射影．垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影．
说明：教师边画出课本图形1-30，边讲解．
点B—点A在平面上的射影
AB—点A到平面的垂线段
AC—平面的一条斜线
C—斜足
线段AC—斜线段
直线BC—斜线AC在平面上的射影
线段BC—斜线段AC在平面上的射影
（板书）
（1）．点在平面上的射影．
（2）．点到平面的垂线段．
（3）．斜线、斜足、斜线段．
（4）．斜线在平面上的射影．
（5）．线段在平面上的射影．
（二）射影定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短．
关于射影定理说明如下：
设A为平面α外一点，AO⊥α，AB、AC为任意两条斜线，O为垂足，则OB和OC分别是AB和AC的射影．
则AB和AC分别为Rt△ABO和Rt△ACO的斜边；由勾股定理可知
AB2＝AO2+OB2；
AC2＝AO2+OC2；
比较上面两个等式，得
还可以得到AB＞AO，AC＞AO．所以，AO过点A向平面α所引线段中最短的一条．
（三）直线与平面成角
1．定义：
（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角．
（2）直线和平面垂直——直线与平面所成的角是直角．
（3）直线和平面平行或直线在平面内——直线与平面所成的角是0°度的角．
2．按照定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：
（1） 直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；
（3）直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．
3．斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．（让学生看书3分钟，加以理解）
（四）例题分析
1．如图1-82，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求：
（1）D1B1与面AC所成角的余弦值；
（2）EF与面A1C1所成的角；
（3）EF与面AC所成的角．
解：
（2）45°．
（3）45°．
2．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内，AC和BC与M所成的角分别是30°、45°，CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．
分析：作出CD与平面M所成的角，然后去解含这个角的三角形．
解：作CC1⊥平面M，连结AC1、BC1、DC1，依题意
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，设CC1＝a，则AC＝2a，
∴∠CDC1＝60°．
3．可让学生完成课后练习1、2．
（五）归纳小结
这节课，我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．
六、布置作业
作为一般要求，完成习题四9、10．
补充：
1．AB是直角三角形ABC的斜边，三个顶点在平面M的同侧，它们在M内的射影分别是A1、B1、C1，如果三角形A1B1C1是正三角形，且AA1＝3cm，BB1＝5cm，CC1＝4cm．求三角形A1B1C1的面积．
解：设正三角形A1B1C1的边长为x．
则AC2＝x2+1
BC2＝x2+1
AB2＝x2+22
∵AC2+BC2=AB2，
2．已知PA，PB，PC与平面α所成的角分别为60°，45°，30°，PO⊥平面α，O为垂足，又斜足A，B，C三点在同一直线上，且AB＝BC＝10cm，求PO的长．
参考答案：
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