§1.7定积分的简单应用
一：教学目标
知识与技能目标
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点
重点 曲边梯形面积的求法
难点 定积分求体积以及在物理中应用
三：教学过程：
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
确定被积函数；
求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（2）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；
图（4） 图（5） 图（6）
2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为
.
3．求旋转体的体积和侧面积
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为
.
其侧面积为
.
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a
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