2014年高考复习专题8 函数与方程
【考纲要求】
1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取值范围．3．利用二分法求方程的近似解．
基础梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义(2)几个等价关系(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布
根的分布(m＜n
＜p为常数)
图象
满足条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜
n＜x2＜p
只有一根在
(m，n)之间
3.二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
一个口诀___________________________________________
两个防范_________________________________________
三种方法__________________________________________
双基自测
1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．
A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )．
A．至少有一个 B．至多有一个
C．有且只有一个 D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
4．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为
( )．
A. B.C. D.
5．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
考向一 函数零点与零点个数的判断
【例1】?(2010·福建)函数f(x)＝的零点个数为( )．
A．3 B．2 C．7 D．0
【训练1】 函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
考向二 有关二次函数的零点问题
【例2】?是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
[审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．
【训练2】 关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时
(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；
(4)在(1,3)内有且只有一解
考向三 函数零点性质的应用
【例3】?已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0，其中e表示自然对数的底数)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
【训练3】 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题
数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数．
一、判定函数零点的个数
【例】? (2011·陕西)函数f(x)＝－cos x在[0，＋∞)内( )．
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
二、判断零点的范围
【例】? (2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
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