2014年高三数学一轮复习十一 正弦定理和余弦定理
【考试要求】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
【基础梳理】
1．正弦定理：
2．余弦定理：
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
式
解的
个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
【双基自测】
1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．
A．5 B．10 C. D．5
2．在△ABC中，若＝，则B的值为( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为( )．
A．3 B．2 C．4 D.
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．
考向一 利用正弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A，C和边c.
【训练1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
考向二 利用余弦定理解三角形
【例2】?在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状
【例3】?在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．
【训练3】 在△ABC中，若＝＝；则△ABC是( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
考向四 正、余弦定理的综合应用
【例3】在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
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