四、三角函数：
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：
与角终边在同一条直线上的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
②一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合： ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；
终边在四个象限的平分线上角的集合： ；
（3）区间角的表示：
①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；
第一、三象限角： ；
②写出图中所表示的区间角：③④⑤⑥
（4）正确理解角：
要正确理解“间的角”= ；
“第一象限的角”= ；“锐角”= ；
“小于的角”= ；
（5）由的终边所在的象限，通过 来判断所在的象限。
（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；
二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ； ； ； ；
如：角的终边上一点，则 。
（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；
比较，，，的大小关系： 。
（3）特殊角的三角函数值：
0
sin
cos
三、同角三角函数的关系与诱导公式：
（1）同角三角函数的关系
平方关系是 ， ， ；
倒数关系是 ， ， ；
商式关系是 ， 。
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
诱导公式可用概括为： ， 。
作用：求任意角的三角函数值。
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤：
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．
步骤： ①确定角所在的象限；
②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角；
③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；
④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。
如，则 ， ； ；_________。
注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；
四、三角函数公式：
三倍角公式：；；
五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。
②；问： ； ；
③；④；⑤；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：； ；
；；
；；
； ；
；
= ；
= ；
（其中 ；）
； ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如： ； ；
；
；推广：
；推广：
六、三角函数的图象和性质：
（1）正弦函数、余弦函数及正切函数的性质：
图 象
作法： ；
定义域
值域
最值（指出此时的值）
最大值
最小值
周期
奇偶性
对称性
对称轴
中心
单调性
增区间
减区间
（2）与
①可由怎样变化得到：
（a）先平移后伸缩：
（b）先伸缩后平移：
注意：对于由三角函数图象求的解析式的问题：即确定；
：可由得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的。
：可运用得到，其中为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。
②与的性质：
定义域
值域
最值（指出此时的值）
最大值
最小值
周期
奇偶性
对称性
对称轴
中心
单调性
增区间
减区间
如：函数的单调增区间为 ；
函数的单调增区间为 ；
函数的单调减区间为 ；
③函数的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，点 是该图象的对称中心。
七、与三角有关的值域与最值问题（运用三角函数的有界性）：如：
①配方法（转化为同名同角函数的二次三项式），
如：求函数的值域。
②降幂（转化为一个角的三角函数形式），
如：求函数的最大值与最小值。
③解不等式（等号一边化成一个角的三角函数形式，利用正余弦的有界性解不等式），
如：求函数的值域。
④数形结合（联想到解析几何中圆与椭圆的参数方程），
如：求函数的值域。
⑤判别式法（运用万能公式，构造成关于（可设为）的以为参数的二次函数），
如：求函数的值域。
⑥换元法：如：设，求函数的最值。
注意：熟悉之间的换算，在具体运用中还要注意、的符号问题：（可借助单位圆）
。 。
。 。
⑦利用函数的单调性：如：设，求函数的最小值。
⑧分类讨论（对含参数的三角函数的值域最值问题，需要对参数进行讨论），
如：设，（1）用表示的最大值；（2）当时，求的值。
⑨基本不等式法：如：求函数的最大值。
八、重要的结论：
（1）特殊函数的周期：
①， ；②， ；
③若函数的最小正周期是，为非零常数，则的最小正周期是 ；的最小正周期是 ；的最小正周期是 。
④函数的最小正周期是两个函数与的最小正周期的最小公倍数。
如：求的最小正周期。
九、解斜三角形：
（1）正弦定理： = = =（为 ）
（2）余弦定理： ； ； ；
（3）求角公式： ； ； ；
注意：正余弦定理适用的题型：
（一）余弦定理适用的题型：
①已知三边，求三个角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（二）正弦定理适用的题型：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角；
②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两个角；（解常不唯一）
（4）三角形解的个数：
已知两边和其一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况：
（一）为锐角：
①无解 ②一解 ③两解 ④一解
（二）为直角或钝角：
① 无解；
② 一解；
亦可以用下面的方法来解题：
①先计算
②若且，有唯一解，且
若由
（5）面积公式： = =
其中，、分别为的外接圆和内切圆的半径。
（6）三角形中常用的结论：
①任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
②边角之间的不等式关系：
③；；
④ ； ；⑤ ； ；
⑥ ； ；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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