圆锥曲线部分 一、椭圆： （1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。 第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上  标准方程    参数方程 为参数) 为参数)  图 形     顶 点    对称轴 轴，轴；短轴为，长轴为  焦 点    焦 距    离心率 （离心率越大，椭圆越扁）  准 线    通 径 （为焦准距）  焦半径    焦点弦  仅与它的中点的横坐标有关  仅与它的中点的纵坐标有关  焦准距   二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。 第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意：与（）表示双曲线的一支。 表示两条射线；没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在轴上 中心在原点，焦点在轴上  标准方程    图 形     顶 点    对称轴 轴，轴；虚轴为，实轴为  焦 点    焦 距    离心率 （离心率越大，开口越大）  准 线    渐近线    通 径 （为焦准距）  焦半径 在左支 在右支 在下支 在上支  焦准距   （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。 ②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是； （4）等轴双曲线为，其离心率为 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 焦点在轴上， 开口向右 焦点在轴上， 开口向左 焦点在轴上， 开口向上 焦点在轴上， 开口向下  标准方程      图 形      顶 点   对称轴 轴 轴  焦 点      离心率   准 线      通 径   焦半径    焦点弦 （当时，为——通径）  焦准距   如：是过抛物线焦点的弦，是的 中点，是抛物线的准线，， 为垂足，，，，为垂足，求证： （1）； （2）； （3）； （4）设交抛物线于，则平分； （5）设，则，； （6）； （7）三点在一条直线上 （8）过作，交轴于，求证：，； 四、圆锥曲线的统一定义： 若平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点为焦点，定直线为准线，为离心率。 当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线。 五、轨迹方程的求法： （1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。 如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。 （2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。 如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交 于，求的轨迹方程。 （3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。 如：是的直径，且，为圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。 （4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。 （5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。 如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的交点的轨迹方程。 （6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。 如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。 （7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法， 如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可； 在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。 注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中的取值范围。 六、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况） 如：试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共点的个数。 （2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的（尤其含有待定的系数是否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是。 如：设抛物线经过两点和，对称轴与轴平行，开口向右，直线 被抛物线截得的线段长是，求抛物线方程。 （3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意条件的应用。 如：已知抛物线方程为在轴上截距为2的直线与抛物线交于两点，且以为径的圆过原点，求直线的方程。 （4）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。 如：抛物线上有关于对称的相异两点，求的取值范围。
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