二、函数
一、映射与函数：
（1）映射的概念： 是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的 一个元素，在集合中都有 的元素与它对应；记作： ；
（2）一一映射：是两个集合，是集合到集合的映射，如果在这个映射下，对于集合中的 ；在集合中有 ；而且中 ；
（3）函数的概念：如果都是 ，那么到的映射就叫做到的函数，记作 ；
如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。
函数的图象与直线交点的个数为 个。
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)
（1）函数解析式的求法：
①定义法（拼凑）：如：已知，求：；
②换元法：如：已知，求；
③待定系数法：如：已知，求一次函数；
④赋值法：如：已知，求；
（2）函数定义域的求法：
①，则 ； ②则 ；
③，则 ； ④如：，则 ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；
如：已知函数的定义域是，求的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；
③判别式法：转化一个关于的一元二次方程（其中为参数），利用存在使得方程成立，找方程有解的充要条件；适用题型：不全为；有两种情况：（1）无具体范围：直接套用；（2）有具体范围：要用实根分布来其有根的充要条件；
注意：（1）若得到的一元二次方程，二次项系数是含有的多项式，此时要分类讨论。
（2）若定义域中有不连续的点，要验证，方法为：令取不连续点的值，求出，再由这个求出与它对应的，如果还有定义域内有定义的与它对应，则此为值域中的一个值，否则，此不在值域中。
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；适用题型；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
求下列函数的值域：①（2种方法）；
②（2种方法）；③（2种方法）；④；⑤（2种方法）；
⑥；⑦；⑧；
三、函数的性质：
（1）函数的单调性：对于给定区间上的函数，如果对于 定义域内任意的；若 ，都有 ，则称为增函数； 都有 ，则称为减函数；
注意：（1）函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法。若函数是一个关于的多项式，还可以通过求导证明：当 时为增函数，当 时为减函数。
（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。
（2）函数的奇偶性：对于函数， 如果定义域内任意的， 都有 ，则称为奇函数； 都有 ，则称为偶函数；
奇函数的图象关于 ，偶函数的图象关于 ；
注意：（1）研究函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域 ；
（2）若函数，是奇函数，且，则 ；
如：判断的奇偶性。
关于函数的单调性和奇偶性的的结论：
1、若奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递 ；
2、若偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上是单调递 ；
3、既是奇函数又是偶函数的函数的解析式为 ；这样的函数有 个。
4、任意定义在上的函数都可唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和：；其中 是偶函数， 是奇函数；
（3）函数对称性的结论：
1、设函数的定义域为，且满足条件：，则函数 的图象关于直线 对称；
如：由成立，则关于 对称；
注意：与关于 对称；
2、定义在上的函数对定义域内任意满足条件，则关于点成中心对称，
如：，则关于原点对称；
（4）函数的周期性：对于函数，如果存在不为零的常数T，对于定义域内的每一个值，都有 则函数为周期函数， 叫周期；
关于函数周期性的结论：
①定义在上的函数对定义域内任意，都满足条件成立，则是以 为周期的周期函数；
②若函数既关于直线对称，又关于对称，则一定是周期函数，且 是它的一个周期；
③若既关于直线成轴对称，又关于点成中心对称，则一定是周期函数，且 是它的一个周期。
四、图形变换：
（1）平移变换：
①形如：：把函数的图象沿 方向向 或 平移 个单位，就得到的图象。
②形如：：把函数的图象沿 方向向 或 平移 个单位，就得到的图象。
（2）对称翻转变换：
①形如：：其函数图象与函数的图象关于 对称。
②形如：：其函数图象与函数的图象关于 对称。
③形如：：其函数图象与函数的图象关于 对称。
④形如：：其函数图象与函数的图象关于 对称。
⑤形如：这是偶函数。其图象是关于轴对称的，所以只要先 ；再 ；就得到了的图象。
⑥形如：：将函数的图象 ；就得到函数的图象。
（3）伸缩变换：
①形如：：将函数的图象横坐标（纵坐标不变）缩小（）或伸长（）到原来的倍得到。
②形如：：将函数的图象纵坐标（横坐标不变）伸长（） 或压缩（）到原来的倍得到。
如：的图象如图，作出下列函数图象：（1）；
（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。
五、反函数：
（1）定义：设表示是自变量的函数，它的定义域为，值域为，由式子解出，得到式子，如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做的反函数，记为，即，习惯上仍用表示自变量，表示函数，把它改写成。
（2）函数存在反函数的条件： ；
（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；
（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；
（6）原函数与反函数具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数：；；
六、复合函数：
（1）定义：如果是的函数，记为，又是的函数，记为，且 的值域与的定义域的交集不空，则确定了一个关于的函数，这时做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数。
（2）复合函数单调性： ；
七、常用的初等函数：
（1）一元一次函数：
当时，是增函数；当时，是减函数；
（2）一元二次函数：
一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；
顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；
①一元二次函数的单调性：
当时： 为增函数； 为减函数；
当时： 为增函数； 为减函数；
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，
Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
有三个类型题型：
(1)顶点固定，区间也固定。如：
(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。如：
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：
根的情况
等价命题
在区间上有两根
在区间上有两根
在区间或上有一根
充要条件
根的情况
等价命题
在区间上有两根
在区间上无根
在区间上有一根
充要条件
注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。
（3）反比例函数：
图 形
定义域
值 域
单调性
对称中心
渐近线
（4）指数函数：
指数运算法则： ； ； 。
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
（5）对数函数：
对数运算法则： ； ； ；
（1） ；
（2）换底公式： ；
（3）对数恒等式： ；
图 象
定义域
值 域
函数值
单调性
注意：（1）与的图象关系是 ；
（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。
已知函数的值域为，求的取值范围。
（4）下图中，与间的关系是：
六、 图象：
定义域： ；
值域： ；
奇偶性： ；
单调性： 是增函数； 是减函数。
七、补充内容：
（1）抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①正比例函数
②； ；
③； ；
④ ；
（2）不等式恒成立的条件：
(1)已知且；则
(a)在时恒成立 ；
(b)在时恒成立 ；可借助一次函数得到。
(2)已知
(a)在时恒成立 或 ；
(b)在时恒成立 或 ；（可借助一次函数
(c)在时恒成立 或 ；或二次函数得到）。
(3)恒成立；恒成立
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