第四节直线、平面平行的判定及性质
[知识能否忆起]
一、直线与平面平行
1．判定定理
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符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行
?a∥α
2．性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
?a∥b
二、平面与平面平行
1．判定定理
文字语言
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符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
?α∥β
2．两平面平行的性质定理
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符号语言
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
?a∥b
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．
2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 对于命题①，若a∥b，b?α，则应有a∥α或a?α，所以①不正确；
对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b?α，因此②也不正确；
对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．
3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交且不垂直 D．l∥α或l?α
解析：选D 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l?α时也成立．
4．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是________．
解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．
答案：平行或异面
5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
解析：如图．
连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
1.平行问题的转化关系：
判定性质
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．
线面平行、面面平行的基本问题
典题导入
[例1] (2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[自主解答] 因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.所以EF＝.
[答案]
本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.
解：如图，
∵GN∥平面AA1C1C，
EG∥平面AA1C1C，
又GN ∩EG＝G，
∴平面EGN∥平面AA1C1C.
∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.
由题悟法
解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
以题试法
1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
解析：选C 由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．
(2)(2012·潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.
直线与平面平行的判定与性质
典题导入
[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)
[自主解答] (1)证明：法一：连接AB′、AC′，因为点M，N分别是A′B和B′C′的中点，
所以点M为AB′的中点．
又因为点N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
法二：取A′B′的中点P.连接MP.
而点M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN＝P，
因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝VN－A′BC＝VA′－NBC＝.
法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝VA′－NBC＝.
由题悟法
利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
以题试法
2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1CD；
(2)求证：EF⊥AD1.
解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，
在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，
∴EF∥B1D.
又∵B1D?平面A1B1CD.
EF?平面A1B1CD，
∴EF∥平面A1B1CD.
(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.
又A1D∩A1B1＝A1，
∴AD1⊥平面A1B1D.
∴AD1⊥B1D.
又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.
平面与平面平行的判定与性质
典题导入
[例3] 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.
[自主解答] (1)在正方形AA1B1B中，
∵AE＝B1G＝1，
∴BG＝A1E＝2，
∴BG綊A1E.
∴四边形A1GBE是平行四边形．
∴A1G∥BE.
又C1F綊B1G，
∴四边形C1FGB1是平行四边形．
∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形．
∴A1G綊D1F.
∴D1F綊EB.
故E，B，F，D1四点共面．
(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.
又B1G＝1，∴＝.
又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG.
∴HG∥FB.
∵GH?面FBED1，FB?面FBED1，∴GH∥面BED1F.
由(1)知A1G∥BE，A1G?面FBED1，BE?面FBED1，
∴A1G∥面BED1F.
且HG∩A1G＝G，
∴平面A1GH∥平面BED1F.
由题悟法
常用的判断面面平行的方法
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．
以题试法
3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.
(1)求证：平面AMB∥平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.
证明：(1)因为MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
所以MB∥平面DNC.
又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.
又MA?平面DNC，DN?平面DNC.
所以MA∥平面DNC.
又MA∩MB＝M，且MA，MB?平面AMB，
所以平面AMB∥平面DNC.
(2)因为四边形AMND是矩形，
所以AM⊥MN.
因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，
所以AM⊥平面MBCN.
因为BC?平面MBCN，
所以AM⊥BC.
因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，
所以BC⊥平面AMC.
因为AC?平面AMC，
所以BC⊥AC.
1．(2013·浙江模拟)已知直线m⊥平面α，直线n?平面β，则下列命题正确的是( )
A．若n∥α，则α∥β B．若α⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，则α∥β D．若α∥β，则m⊥n
解析：选D 由m⊥α，α∥β，n?β?m⊥n.
2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
解析：选D 若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则α∥β，b∥α，故排除C.
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点， 在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A．不存在 B．有1条
C．有2条 D．有无数条
解析：选D 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．
4．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．只有②
解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.
5.(2012·开封模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC，CD的中点，则( )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，∴EF∥面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG綊BD，∴EF∥HG且EF≠HG.
∴四边形EFGH是梯形．
6．(2012·山西四校联考)在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )
A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥n
D．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β
解析：选D 对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D不正确．
7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
上述命题中，所有真命题的序号是________．
解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a与b还可能异面、相交．
答案：②④
8．已知平面α∥β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A.C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8则BD的长为________．
解析：如图1，∵AC∩BD＝P，
∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.
∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
∴AB∥CD.
∴＝，即＝.
∴BD＝.
如图2，同理可证AB∥CD.
∴＝，即＝.
∴BD＝24.
综上所述，BD＝或24.
答案：或24
9．(2012·浙江模拟)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到直线AB与MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.
答案：①③
10．(2013·西安模拟)如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.
(1)求证：BE∥平面ADF；
(2)若矩形ABCD的一边AB＝，EF＝2，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为？
解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.
因为CE∥DF，
所以四边形CEMD是平行四边形．
可得EM＝CD且EM∥CD，
于是四边形BEMA也是平行四边形，
所以有BE∥AM.
而AM?平面ADF，BE?平面ADF，
所以BE∥平面ADF.
(2)由EF＝2，EM＝AB＝，
得FM＝3且∠MFE＝30°.
由∠DEF＝90°可得FD＝4，
从而得DE＝2.
因为BC⊥CD，BC⊥FD，
所以BC⊥平面CDFE.
所以，VF－BDE＝VB－DEF＝S△DEF×BC.
因为S△DEF＝DE×EF＝2，VF－BDE＝，
所以BC＝.
综上当BC＝时，三棱锥F－BDE的体积为.
11.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：
∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD∥CF.
又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1.
∴CF∥平面ADD1A1.
又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，
DD1?平面ADD1A1，
∴CC1∥平面ADD1A1，
又CC1，CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
12．(2013·潍坊二模)如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC＝2，AC＝CD＝3.
(1)证明：EO∥平面ACD；
(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE；
(3)求三棱锥E－ABD的体积．
解：(1)证明：如图，取BC的中点M，连接OM，ME.
在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，
∴OM∥AC.
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，
∴四边形MCDE为平行四边形．∴EM∥DC.
∴平面EMO∥平面ACD，
又∵EO?平面EMO，
∴EO∥平面ACD.
(2)证明：∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC.
又∵平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC＝BC.
∴AC⊥平面BCDE.
又∵AC?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE.
(3)由(2)知AC⊥平面BCDE.
又∵S△BDE＝×DE×CD＝×2×3＝3，
∴VE－ABD＝VA－BDE＝×S△BDE×AC＝×3×3＝3.
1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内与过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：选A 当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线．
2．(2012·南宁二模)如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．
解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由＝＝，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC，平面ABD
3．(2012·北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．
(1)求该多面体的体积与表面积；
(2)求证：GN⊥AC；
(3)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．
解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，
所以该多面体的体积为a3.
表面积为a2×2＋a2＋a2＋a2＝(3＋)a2.
(2)连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD，FD⊥CD，
AD∩CD＝D，
∴FD⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴FD⊥AC.
又DN∩FD＝D，
∴AC⊥平面FDN.
又GN?平面FDN，
∴GN⊥AC.
(3)点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
取FC的中点H，连接GH，GA，MH.
∵G是DF的中点，
∴GH綊CD.
又M是AB的中点，
∴AM綊CD.
∴GH∥AM且GH＝AM.
∴四边形GHMA是平行四边形．
∴GA∥MH.
∵MH?平面FMC，GA?平面FMC，
∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.
1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α
C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β
解析：选D 对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．
2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.
当点M在何位置时，BM∥平面AEF?
解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.
∵侧棱A1A⊥底面ABC，
∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，
∴OM⊥底面ABC.
又∵EC＝2FB，∴OM綊FB綊EC.
∴四边形OMBF为矩形．
∴BM∥OF.
又∵OF?面AEF，BM?面AEF.
故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．
法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，
∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，
∴PE綊BF，PB∥EF，
∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，
∴平面PBQ∥平面AEF，
又∵BQ?面PQB，∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．
3．(2012·蚌埠二中质检)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积．
解：(1)证明：∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝60°.
∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°.
∴CD＝2.
∵CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.
则CD2＋DE2＝EC2.∴∠CDE＝90°，DE⊥DC.
又∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，
∴DE⊥平面BCD.
(2)∵EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，∴EF∥BG.
∵点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点，
∴AE＝EG＝CG＝2.
如图，作BH⊥CD于H.∵平面BCD⊥平面ACD，
∴BH⊥平面ACD.
由条件得BH＝，
S△DEG＝S△ACD＝×AC·CD·sin 30°＝，
∴三棱锥B－DEG的体积V＝S△DEG·BH＝××＝.
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