组 合 ⑵
课题：组合的简单应用及组合数的两个性质
目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．
过程：
一、复习回顾：
1．复习排列和组合的有关内容：
定 义
特 点
相同××
公 式
排 列
组 合
强调：排列——次序性；组合——无序性．
2．练习一：
练习1：求证：． （本式也可变形为：）
练习2：计算：① 和； ② 与；③
答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
3．练习二：
⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
答案：⑴ （组合问题） ⑵（排列问题）
二、新授：
1．组合数的 性质1：．
理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ( m个元素．因
为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
证明：∵
又 ∴
注：1( 我们规定
2( 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3( 此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化．
例如：＝＝=2002．
4( 或
2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴ ⑵ ⑶
引导学生发现：．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m (1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2：＝+．
证明：
∴ ＝+．
注：1( 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．
2( 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
4．示例二：
⑴ 计算：
⑵ 求证：＝++
⑶ 解方程：
⑷ 解方程：
⑸ 计算：和
推广：
5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
⑴ （讲解）
⑵ （练习）
⑶
6．处理《教学与测试》76课例题
三、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
四、作业： 课堂作业：《教学与测试》76课
课外作业：课本习题10.3；课课练课时9
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