§1.3.2 球的表面积与体积 教学目标： 1．掌握球的表面积与体积公式 2．能运用球的表面积与体积公式解决一些简单问题 教学重点： 球的表面积与体积公式 教学难点： 球的表面积与体积公式的应用 教学过程： 1．球的体积公式
． 2．球的面积公式
． 3．例题讲解 例1．已知两球的体积之和为
，两球的大圆周长之和为
，求此两球的半径． 分析：
，
， 则
，所以，此两球的半径分别为
和
． 注：大圆为过球心的截面圆，反之，则称为小圆． 例2．一个正方体内接于半径为
的球内，求正方体的体积． 分析：因为正方体内接于球内，所以正方体的
个顶点均在球面上，即球的直径等于正方体的体对角线，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为
，则
． 所以，正方体的体积为
． (此时，这个球叫作正方体的外接球) (长方体的外接球直径也等于长方体的体对角线长) 变式1：一个球与正方体的六个面都相切，求这个球的面积与体积． 分析：球的直径等于正方体的棱长，设正方体的棱长为
，则
， 所以，
，
． (此时，这个球叫作正方体的内切球) 变式2：一个球与正方体的十二条棱都相切，求这个球的面积与体积． 分析：球的直径等于正方体的面对角线，设正方体的棱长为
，则
， 所以，
，
． 例3．已知球的两个平行截面的面积分别为
和
，且截面位于球心的同一侧，它们相距
，求该球的球面面积． 分析：如图，画出球的轴截面，得
，
，
，
，则
，所以，
． 思考：若无“且截面位于球心的同一侧”，该如何求解？ 分成截面位于球心的同侧与异侧来分类讨论． 例4．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为
的铁球，并向容器内注水，使球浸入水中且水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？ 分析：
为
中心，
，
， 求取出后圆锥底面半径
， 则

．

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