§2.1.1 直线的斜率
教学目标：
1．理解直线的斜率，掌握经过两点的直线的斜率公式
2．理解直线的倾斜角的定义，知道直线倾斜角的范围
3．掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系
教学重点：
直线的倾斜角和斜率的概念，斜率与倾斜角的关系
教学难点：
斜率与倾斜角的关系的推导及范围
教学过程：
1．问题情境
(1)情境：初中时我们已经初步接触到了直线的方程，例如：．在平面直角坐标系中，用有序实数对表示平面内的点，代数方程的解看作平面上的点的坐标，这些点的集合即为直线．
一般地，关于的一个方程，将它的解看作平面上的点的坐标，这些点的集合是一条曲线．
(2) 问题：我们都知道，两点可以确定一条直线．还有什么样的条件可以确定一条直线吗？
答：一点和直线的方向（即直线的倾斜程度）．
2．直线的倾斜角
倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角称为直线的倾斜角．特别地，当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为．
直线的倾斜角的范围是．
3．直线的斜率
倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，记作．
经过两点的直线的斜率为．
说明：
(1)斜率公式与两点的顺序无关；
(2)对于不垂直于轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置无关；
(3)对于与轴不垂直的直线，斜率可看作：．
对应上图四种情况归纳得：
(1)当时，直线从左下方向右上方倾斜，此时直线倾斜角为锐角；
(2)当时，直线从左上方向右下方倾斜，此时直线倾斜角为钝角；
(3)当时，直线与轴平行或重合，此时直线倾斜角为；
(4)当时，直线与轴垂直，此时直线的斜率不存在，倾斜角为直角．
说明：
(1)任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率．
(2)倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，当斜率侧重于数量关系，而倾斜角则侧重于直观形象．
4．直线的斜率和倾斜角之间的关系
看课本：思考，引导学生观察得出以下结论：
：，：；：，：．
即：当时，斜率，增大时随之增大；
当时，斜率，增大时也是随之增大．
5．例题讲解
例1．如图，直线都经过点，又分别经过点，，试计算直线的斜率．
解：设的斜率分别为，则．
例2．已知直线经过点、，求直线的斜率及当时的倾斜角．
解：当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
当时，直线的斜率．
例3．已知三点在一条直线上，求实数的值．
解：由题意，，∴，∴或．
练习：求证：三点共线．
例4．经过点画直线，使直线的斜率分别为：(1)；(2)．
分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．
解：(1)根据斜率，斜率为表示直线上的任一点沿轴方向向右平移个单位，再沿轴方向向上平移个单位后仍在此直线上，将点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后得点，即可确定直线．
(2)∵，∴将点沿轴方向向右平移5个单位，再沿轴方向向下平移4个单位后得点，即可确定直线．
例5．已知，
(1)当为何值时，直线的倾斜角为锐角？
(2)当为何值时，直线的倾斜角为钝角？
(3)当为何值时，直线的倾斜角为直角？
答案：
(1)或；
(2)；
(3)．
例6．若过点的直线与连结的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围．
答案：
，，
斜率范围，
倾斜角范围．
6．课堂小结
(1)直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式
(2)直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围
(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系
课后练习：
1．已知三点共线，求的值．
2．已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得直线的斜率是 ．
3．已知直线过点，根据下列条件，求实数的值．
(1)直线倾斜角为；
(2)直线倾斜角为；
(3)直线倾斜角为锐角；
(4)点也在直线上．
4．若过点的直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围．
5．已知经过点的直线的倾斜角为，试求实数的取值范围．
6．若过原点的直线与连结的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围．
【点此下载】