§2.1.5 平面上两点间的距离
教学目标：
1．掌握平面上两点间的距离公式，能运用距离公式解决一些简单的问题
2．掌握中点坐标公式，能运用中点坐标公式解决简单的问题
3．培养学生从特殊问题开始研究逐步过渡到研究一般问题的思维方式
教学重点：
掌握平面上两点间的距离公式及运用，中点坐标公式的推导及运用
教学难点：
两点间的距离公式的推导，中点坐标公式的推导及运用
教学过程：
1．引入新课
引例．已知，四边形是否为平行四边形？
问题(1)：证明一个四边形是平行四边形可用什么方法？
(两组对边分别平行一组对边平行且相等对角线互相平分)
方法：，
，则四边形是平行四边形．
2．两点间的距离公式
问题(2)：已知两点坐标如何求线段的长？
方法：过点向轴作垂线，过点向轴
作垂线，两条垂线交于点，且，
，所以在中，
，同理可得，则，
由方法得，所以四边形是平行四边形．
一般地，设两点，求的距离．
如果，过分别向轴、轴作垂线，两条垂线相交于点．
因为，所以在中，
()
当时，，
当时, ，均满足()式．
结论：平面上两点之间的距离公式
为 ．
3．中点坐标公式
问题(3)：要证明对角线互相平分，只需要证明对角线和的中点相同，如何证明呢？
方法：设线段的中点为，过点向轴作垂线，垂足分别为，则的横坐标分别为，
由得，
解得，同理得，
所以线段的中点的坐标为，
同理可得线段的中点坐标也为，
因此四边形的对角线和在点处互相平分，故这个四边形是平行四边形．
结论：一般地，对于平面上两点，线段的中点是，
则．
证明方法分析:(1)可仿照例题的方法而得；(2)第一步:由证明在同一直线上；第二步:有距离公式证明，所以为的中点．(参考教材)
4．例题讲解
例1．(教材例1)(1)求两点之间的距离；
(2)已知两点之间的距离为，求实数的值．
解：(1)．
(2)．
例2．(教材例2)已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程．
解：如图，设中点，
则，即，
则，
，即．
例3．(教材例3)已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明：．
证：如图，以的直角边所在直线为坐标轴，
为原点，建立直角坐标系，设，
是的中点， ，
因为，，
所以，．
例4．已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形．
分析：要使四边形为等腰梯形，则需他的一组对边平行且不相等，而另一组对边相等．
解：设，由及，得
,解得或(不合题意，舍去).
再由及，得，
解得或(不合题意，舍去).∴所求点的坐标为或．
例5． 已知直线，(1)求点关于对称的点；(2)求关于点对称的直线方程．
分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．
解．(1)设，由于，且中点在上，有
，解得 ∴
(2)在上任取一点，如，则关于点对称的点为．
∵所求直线过点且与平行，∴方程为，即．
例6．一条光线经过点射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．
分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点．
解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，所以，
解得．反射光线经过两点，
∴反射线所在直线的方程为．
由得反射点．入射光线经过两点，
∴入射线所在直线的方程为．
例7．已知定点求的最小值．
解：设，则，
如图显然，(三角形两边之和大于第三边)，
则．
变式1．已知定点求的最大值．
解：设，则，
如图显然，(三角形两边之差小于第三边)，
则．
变式2．已知定点求的最小值．
解：设，则，
设关于轴的对称点为，则，
如图，，
则．
变式3(思考题) ．已知定点，在直线和上分别求点和点，使的周长最短，并求出最短周长．
简解：，
，，周长
5．课堂小结
(1)掌握两点间的距离公式
(2)掌握中点坐标公式
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