第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或
4? cos? = ；5?|a?b| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b)
分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
向量垂直的判定
设，，则
两向量夹角的余弦（）
cos? =
讲解范例：
设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， ?1)，b = (1， 2)，求满足x?a = 9与x?b = ?4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， ?3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x?5， y?2)
∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x2 + y2 ?5x ? 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90?时，?= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90?时，?= 0，=?= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
当C = 90?时，?= 0，∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
小结（略）
课后作业（略）
板书设计（略）
课后记：
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