第二十五教时 教材：复习四——平面向量的数量积及运算律 目的：要
求学生对平面向量的数量积的概念理解更清晰，并能教熟练地应
用于平行、垂直等问题。 过程： 复习： 定义、其结果是一个数量。 a?b>0(0≤(<90(；a?b=0(=(=9
0( 即a(b；a?b<0(90(
<(≤180( 性质1( —5( 运算律 例题： 已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60(，求 |a + b | 解：a?b = |a||b|cos60( = 5×8×
= 20 ∴|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = 129 ∴|a + b | =
求证：|a + b |≤|a| + |b| 证：|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = |a|2 + |b|2
+ 2|a||b|cos( ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即：|a +
b |≤|a| + |b| 设非零向量a、b、c、d，满足d = (a?c)
b ( (a?b)c，求证：a(d 证：内积a?c与a?b均为实数， ∴a?d = a?[(a?c) b ( (a?b)c] = a?[(a?c) b] ( a?[(a?b)c] = (a?b)(a?c) ( (a?c)(a?b) = 0 ∴a(d 已知非零向量a、b，满足a (±b， 求证：b(a垂直于a+b的充要条件是|a| = |b| 证：由题设：b(a与a+b均为非零向量 必要性：设b(
a垂直于a+b，则(b(a)(a+b) = 0 又：(b(a)(a+b) = b2 ( a2 = |b|2 ( |a|2 ∴|b|2 ( |a|2 = 0 即：|a| = |b| 充分性：设|a| = |b|，则(b(a
)(a+b) = b2 ( a2 = |b|2 ( |a|2 = 0 即：(b(a)(a+b) = 0 ∴(b(a) ( (a+b) 5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a ( 5b垂直， a ( 4b与7a ( 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a ( 5b) = 0 ( 7a2 + 16a(b (15
b2 = 0 ① (a ( 4b)(7a ( 2b) = 0 ( 7a2 ( 30a(b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a(b = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹
角为(，则cos( =
∴( = 60( 6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。 证：设
=
=
a ,
=
= b ∵ABCD为菱形 ∴|a| = |b| ∴
(

= (b + a)(b ( a) = b2 ( a2 = |b|2 ( |a|2 = 0 ∴
(
7．如图，AD、
BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H，
= a,
= b,
= h, 则
= h ( a ,
= h ( b ,
= b ( a ∵

(
,
(
∴
∴
(
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点 作业：《导学?创新》 §5.6

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