第五教时 教材：实数与向量的积 目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。 二、1．引入新课：已知非零向量

作出
+
+
和((
)+((
)+((
)
=
=
+
+
=3

=
=((
)+((
)+((
)=(3
讨论：1(3
与
方向相同且|3
|=3|
| 2((3
与
方向相反且|(3
|=3|
| 2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量
的积，记作：λ
定义：实数λ与向量
的积是一个向量，记作：λ
1(|λ
|=|λ||
| 2(λ>0时λ
与
方向相同；λ<0时λ
与
方向相
反；λ=0时λ
=
3．运算定律：结合律：λ(μ
)=(λμ)
① 第一分配律：(λ+μ)
=λ
+μ

② 第二分配律：λ(
+
)=λ
+λ
③ 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，
=
至少有一个成立，则①式成立 如果
λ(0，μ(0，
(
有：|λ(μ
)|=|λ||μ
|=|λ||μ||
| |(λμ)
|=|λμ||
|=|λ||μ||
| ∴|λ(μ
)|=|(λμ)
| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与

同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与
反向。 从而λ(μ
)=(λμ)
第一分配律证明： 如果λ=0，μ=0，
=
至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ(0，μ(0，
(
当λ、μ同号时，则λ
和μ
同向， ∴|(λ+μ)
|=|λ+μ||
|=(|λ|+|μ|)|
| |λ
+μ
|=|λ
|+|μ
|=|λ||
|+|μ||
|=(|λ|+|μ|)|
| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与
同向 即：|(λ+μ)
|=|λ
+μ
| 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ
同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ
同向 还可证：|(λ+μ)
|=|λ
+μ
| ∴②式成立 第二分配律证明： 如果
=
，
=
中至少有一个成立，或λ=0，λ=
1则③式显然成立 当
(
，
(
且λ(0，λ(1时 1(当λ>0且λ(1时在平面内任取一点O， 作




λ

λ
则

+

λ
+λ
由作法知：
∥
有(OAB=(OA1B1 |
|=λ|
| ∴

λ
∴△OAB∽△OA1B1
∴
λ (AOB=( A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，|
|=|λ
|
与λ
方向也相同 λ(
+
)=λ
+λ
当λ<0时 可类似证明：λ(
+
)=λ
+λ
∴ ③式成立 4．例一 （见P104）略 三、向量共线的充要条件（向量共线定理） 若有向量
(
(
)、
，实数λ，使
=λ
则由实数与向量积的定义知：
与
为共线向量 若
与
共线(
(
)且|
|：|
|=μ，则当
与
同向时
=μ


当
与

反向时
=(μ
从而得：向量
与非零向量
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使

=λ
2．例二（P1
04-105
略） 三、小结： 四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2

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