第3课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
考点一 带电粒子在磁场运动的临界与极值问题
考点解读
解决此类问题的关键是：找准临界点．
找临界点的方法是：[Ks5u.com]
以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
(3)当速率v变化时，圆周角越大，运动时间越长．
典例剖析
1．磁感应强度的极值问题
例1 如图1所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个
板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长
为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应
强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e，质量为m)．
2．偏角的极值问题
例2 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向
如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0
＝1×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒
子的比荷＝1×108 C/kg，不计粒子重力．
(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．
3．时间的极值问题
例3 如图3所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，
两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带
电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加
速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大
小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，
它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，
当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
(1)两板间电压的最大值Um；
(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；
(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.
4．面积的极值问题
例4 如图4所示，质量为m，电荷量为e的电子从坐标原点O处沿
xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v0.
现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感
应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平
行的荧光屏MN上，求：
(1)电子从y轴穿过的范围；
(2)荧光屏上光斑的长度；
(3)所加磁场范围的最小面积．
考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题
考点解读
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．
1．带电粒子电性不确定
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解．
如图5所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.
2．磁场方向不确定形成多解
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解．
如图6所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b.
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图5 图6
3．临界状态不惟一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图7所示，于是形成了多解．
4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图8所示．
图7 图8
典例剖析
1．带电粒子性质的不确定形成多解
例5 如图9所示，直线边界MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度为B，磁场区域足够大．今有一质量为m，带电荷量为q
的带电粒子，从边界MN上某点垂直磁场方向射入，射入时的速度
大小为v，方向与边界MN的夹角为θ，求带电粒子在磁场中的运动时间．
2．磁场方向不确定形成多解
例6 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运动的角速度可能是 ( )
A. B. C. D.
3．运动方向不确定形成多解
例7 如图10所示，绝缘摆线长为L，摆球带正电(电荷量为q，质量为m)
悬于O点，当它在磁感应强度为B的匀强磁场中来回摆动经过最低点C
时速率为v，则摆线的拉力为多大？
4．运动的往复性形成多解
例8 如图11所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强
磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、
O、N在一条直线上，∠MOQ＝60°，这两个区域磁场的磁感
应强度大小均为B.离子源中的离子带电荷量为＋q，质量为
m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域(可认
为初速度为零)，离子经电场
加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界
MN，不计离子的重力．
(1)若加速电场两板间电压U＝U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；
(2)在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，若离子能通过P点，求加速电压U和从O点到P点的运动时间．
思维突破 多解问题的审题
正确解答多解问题的前提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件的不确定因素，从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析．审题时应克服习惯性思维或先入为主的思维模式，想当然地认为带电粒子就是带正电，粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了单解题，答案不全面或解答错误．本题型的四个例题，就是从形成多解的四个不确定条件出发，讨论了形成多解的不同结果．
A组 临界与极值问题
如图12所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的
匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于
纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的
重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，
经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC
＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等
于T/2(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的
时间可能为 ( )
A. B. C. D.
2．如图13所示，半径为r＝0.1 m的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于
坐标原点O，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直纸面向里．在O处有
一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v＝3.2×106 m/s的α粒
子．已知α粒子质量m＝6.64×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C，不
计α粒子的重力．求α粒子在磁场中运动的最长时间．
B组 多解问题
3. 垂直于纸面的匀强磁场区域宽度为d，一个电子以速度v沿图14所示
方向垂直磁场方向及磁场边界射入该区域，恰好不能飞过场区，采取
如下哪些方法，可能使该电子飞到场区右侧 ( )
A．增大磁感应强度 B．改变v的方向
C．减小d D．将磁场反向
4．如图15所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区
域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作
用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过
时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面
以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下
列说法中正确的是 ( )
A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0[高考资源网]
B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0
C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为t0
D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为
第3课时 带电粒子在匀强磁场中的运动
(限时：60分钟)
一、选择题
1. 一个质子和一个α粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀
强磁场中，若它们在磁场中的运动轨迹是重合的，如图1所示，
则它们在磁场中 ( )
A．运动的时间相等
B．加速度的大小相等
C．速度的大小相等
D．动能的大小相等
2. 初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方
向与电子的初速度方向如图2所示，则 ( )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
3. 如图3所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝
对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从A点以相同的速度
先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A．运动时间相同
B．运动轨迹的半径相同
C．重新回到边界时速度大小和方向相同
D．重新回到边界时与A点的距离相等
4．如图4所示，一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，不计重
力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ，沿曲线abcd
运动，ab、bc、cd都是半径为R的圆弧．粒子在每段圆弧上运
动的时间都为t.规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为正，则磁
场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是图中的( )
5．如图5所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方
都是垂直纸面向外的磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点
都在L1上．带电粒子从A点以初速v斜向下与L1成45°角射
出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向下，且方
向与A点方向相同．不计重力影响，下列说法中正确的是 ( )
A．该粒子一定带正电
B．该粒子一定带负电[ks5u.com]
C．若将带电粒子在A点时初速度变大(方向不变)，它仍能经过B点
D．若将带电粒子在A点时初速度变小(方向不变)，它不能经过B点
6. 一电子以垂直于匀强磁场的速度vA，从A处进入长为d、宽为h的
磁场区域如图6所示，发生偏移而从B处离开磁场，若电荷量为e，
磁感应强度为B，圆弧AB的长为L，则 ( )
A．电子在磁场中运动的时间为t＝
B．电子在磁场中运动的时间为t＝
C．洛伦兹力对电子做功是BevA·h
D．电子在A、B两处的速度相同
7. 如图7所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度的大小为B.许多相同的离子，以相同的速率v，
由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域．不计离子所受重
力，不计离子间的相互影响．图中曲线表示离子运动的区域边
界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM＝ON＝L.由此可判断 ( )
A．这些离子是带负电的
B．这些离子运动的轨道半径为L
C．这些离子的比荷为＝
D．当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点
8. 如图8所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒
子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则 ( )[高考资源网KS5U.COM]
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
二、非选择题
9．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成30°角
的速度v0从y轴上的a点射入图9中第一象限所在区域．为了使该带
电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的
地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场
分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．
10．如图10甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力．求：
图10
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值．
11．如图11所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子．已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够
长，粒子重力不计，求：
(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；
(2)如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．ks5u.com
答案
课堂探究
例1 ≤B≤
例2 (1)5×10－2 m (2)37° 74°
例3 (1) (2)(2－)L (3)
例4 (1) (2)
(3)(＋1)()2
例5 若粒子带正电，则运动时间为，若粒子带负电，则运动时间为
例6 AC [设电子所受电场力为F，洛伦兹力为F洛，若磁场方向垂直于纸面向外，则电子所受洛伦兹力指向圆心(如图甲所示)．由题意可知F＋F洛＝mω2R，F洛＝evB＝e(ωR)B，F＝3F洛，联立以上三式得ω＝.
若磁场方向垂直于纸面向里，则电子所受洛伦兹力背向圆心(如图乙所示)，则有F－F洛＝mω2R，F洛＝evB＝e(ωR)B，F＝3F洛，联立三式解得：ω＝，故本题答案为A、C.]
例7 见解析
例8 (1) (2)见解析
分组训练
1．ABC [TP759.TIF；%60%60；Z*2，Y]粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由于所有粒子的速度大小相同，故弧长越小，粒子在磁场中运动的时间就越短，由于粒子在磁场中运动的最长时间为，沿SA方向射出的粒子在磁场中运动时间最长，如图所示作出粒子运动轨迹图，由几何关系可知当粒子在磁场中做圆周运动绕过的弧所对应的弦垂直边界OC时，在磁场中运动时间最短，SD⊥OC，则SD＝ES，即弦SD等于半径，相应∠DO′S＝60°，即最短时间为t＝T＝，所以A、B、C正确．]
2．6.5×10－8 s
3．BC [因电子恰好不能飞过场区，说明其运动轨迹恰好与右边界相切，做圆周运动的半径为d，若让电子飞到场区右侧，则可改变v的方向，使圆心向右偏，或减小d，都能使电子飞到场区右侧，选项B、C正确．]
4．C [作出从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.如图可知，从ab边射出经历的时间一定不大于；从bc边射出经历的时间一定不大于；从cd边射出经历的时间一定是；从ad边射出经历的时间一定不大于.所以选项C正确．]
答案
1．D [因mα＝4mH，qα＝2qH，据T＝，知tα＝2tH；据R＝，知vH＝2vα；据a＝，知aα＝aH；据Ek＝mv2，知Ekα＝EkH，只有D项正确．]
2．A [由安培定则可知，通电导线右方磁场方向垂直纸面向里，则电子受洛伦兹力方向由左手定则可判知向右，所以电子向右偏；由于洛伦兹力不做功，所以电子速率不变．]
3．BCD [两偏转轨迹的圆心都在射入速度方向的垂线上，可假设
它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示．
由此可知它们的运动时间分别为t1＝，t2＝；轨迹
半径R＝相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与A点距离相等，为d＝2R·sin
θ.故B、C、D正确．]
4．C
5．C [无论是带正电还是带负电粒子都能到达B点，画出粒子运动的轨迹，正粒子在L1上方磁场中运动T，在L2下方磁场中运动T，负粒子在L1上方磁场中运动T，在L2下方磁场中运动，T＝；速度变化不影响粒子经过B点，选C.]
6．B [电子在磁场中只受洛伦兹力的作用，做匀速圆周运动，认为运动时间为t＝是把电子的运动看成类平抛运动了，圆周运动时可用t＝来计算；洛伦兹力与电子的运动方向始终垂直，故一定不做功；速度是矢量，电子在A、B两点速度的大小相等，而方向并不相同．]
7．D [根据左手定则，离子带正电，A项错误；由题图可知，粒子轨道半径为L，B项错误；再根据qvB＝，＝，C项错误；由于ON＝L，粒子半径为L，ON恰好为粒子做圆周运动的直径，故D项正确．]
8．BD [作出各自的轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从P、
Q点射出时，与AC边夹角相同，故可判定从P、Q点射出时，半径
R1
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