学案2 匀变速直线运动的规律
一、概念规律题组
1．在公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2中涉及的五个物理量，除t是标量外，其他四个量v、v0、a、x都是矢量，在直线运动中四个矢量的方向都在一条直线中，当取其中一个量的方向为正方向时，其他三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值，若取速度v0方向为正方向，以下说法正确的是( )
A．匀加速直线运动中a取负值
B．匀加速直线运动中a取正值
C．匀减速直线运动中a取正值
D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动a都取正值
答案 B
解析 据v＝v0＋at可知，当v0与a同向时，v增大；当v0与a反向时，v减小．x＝v0t＋at2也是如此，故当v0取正值时，匀加速直线运动中，a取正；匀减速直线运动中，a取负，故选项B正确．
2．某运动物体做匀变速直线运动，加速度大小为0.6 m/s2，那么在任意1 s内( )
A．此物体的末速度一定等于初速度的0.6倍
B．此物体任意1 s的初速度一定比前1 s末的速度大0.6 m/s
C．此物体在每1 s内的速度变化为0.6 m/s
D．此物体在任意1 s内的末速度一定比初速度大0.6 m/s
答案 C
解析 因已知物体做匀变速直线运动，又知加速度为0.6 m/s2，主要涉及对速度公式的理解：①物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动；②v＝v0＋at是矢量式．匀加速直线运动a＝0.6 m/s2；匀减速直线运动a＝－0.6 m/s2.
3．我国自行研制的“枭龙”战机已在四川某地试飞成功．假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为( )[Ks5u.com]
A．vt B. C．2vt D．不能确定
答案 B
解析 因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝t＝t＝t.B选项正确．
4．一个做匀加速直线运动的物体，通过A点的瞬时速度是v1，通过B点的瞬时速度是v2，那么它通过AB中点的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
答案 C
二、思想方法题组
5．如图1所示，请回答：
图1
(1)图线①②分别表示物体做什么运动？
(2)①物体3 s内速度的改变量是多少，方向与速度方向有什么关系？
(3)②物体5 s内速度的改变量是多少？方向与其速度方向有何关系？
(4)①②物体的运动加速度分别为多少？方向如何？
(5)两图象的交点A的意义．
答案 见解析
解析 (1)①做匀加速直线运动；②做匀减速直线运动
(2)①物体3 s内速度的改变量
Δv＝9 m/s－0＝9 m/s，方向与速度方向相同
(3)②物体5 s内的速度改变量Δv′＝(0－9) m/s＝－9 m/s，负号表示速度改变量与速度方向相反．
(4)①物体的加速度
a1＝＝＝3 m/s2，方向与速度方向相同．
②物体的加速度
a2＝＝＝－1.8 m/s2，方向与速度方向相反．
(5)图象的交点A表示两物体在2 s时的速度相同．
6．汽车以40 km/h的速度匀速行驶．
(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？
(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s后速度减为多少？
(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s后速度为多少？
答案 (1)17 m/s (2)5 m/s (3)0
解析 (1)初速度v0＝40 km/h≈11 m/s，
加速度a＝0.6 m/s2，时间t＝10 s.
10 s后的速度为
v＝v0＋at＝11 m/s＋0.6×10 m/s＝17 m/s.
(2)汽车刹车所用时间t1＝＝ s>10 s，
则v1＝v0－at＝11 m/s－0.6×10 m/s＝5 m/s.
(3)汽车刹车所用时间t2＝＝ s<10 s，所以10 s后汽车已经刹车完毕，则10 s后汽车速度为零．
思维提升[Ks5u.com]
1．匀变速直线运动的公式都是矢量式，应注意各物理量的正负以及物理量的符号与公式中加减号的区别．
2．一个匀变速运动，其时间中点的速度v1与位移中点的速度v2不同，且不论匀加速还是匀减速总有v1t0，则t秒末的速度为零．
一、匀变速直线运动及其推论公式的应用
1．两个基本公式
(1)速度公式：v＝v0＋at
(2)位移公式：x＝v0t＋at2[Ks5u.com]
两个公式中共有五个物理量，只要其中三个物理量确定之后，另外两个就确定了．原则上应用两个基本公式中的一个或两个联立列方程组，就可以解决任意的匀变速直线运动问题．
2．常用的推论公式及特点
(1)速度—位移公式v2－v＝2ax，此式中不含时间t；
(2)平均速度公式＝v＝，此式只适用于匀变速直线运动，式中不含有时间t和加速度a；＝，可用于任何运动．
(3)位移差公式Δx＝aT2，利用纸带法求解加速度即利用了此式．
(4)初速度为零的匀加速直线运动的比例式的适用条件：初速度为零的匀加速直线运动．
3．无论是基本公式还是推论公式均为矢量式，公式中的v0、v、a、x都是矢量，解题时应注意各量的正负．一般先选v0方向为正方向，其他量与正方向相同取正值，相反取负值．
【例1】 (2010·湖南·24)短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是9.69 s和19.30 s．假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动.200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑100 m时最大速率的96%.求：
(1)加速所用时间和达到的最大速率；
(2)起跑后做匀加速运动的加速度．(结果保留两位小数)
答案 (1)1.29 s 11.24 m/s (2)8.71 m/s2
解析 (1)设加速所用时间为t(以s为单位)，匀速运动时的速度为v(以m/s为单位)，则有
vt＋(9.69－0.15－t)v＝100①
vt＋(19.30－0.15－t)×0.96v＝200②
由①②式得
t＝1.29 s
v＝11.24 m/s
(2)设加速度大小为a，则
a＝＝8.71 m/s2
[规范思维] (1)对于物体的直线运动，画出物体的运动示意图(如下图)，分析运动情况，找出相应的规律，是解题的关键．
(2)本题表示加速阶段的位移，利用了平均速度公式＝，平均速度 还等于v.公式特点是不含有加速度，且能避开繁琐的计算，可使解题过程变得非常简捷．
[针对训练1] (2009·江苏·7)如图2所示，以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的有( )
图2
A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线
B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速
C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线
D．如果距停车线5 m处减速，汽车能停在停车线处
答案 AC
解析 如果立即做匀加速直线运动，t1＝2 s内汽车的位移x1＝v0t1＋a1t＝20 m>18 m，此时汽车的速度v1＝v0＋a1t1＝12 m/s<12.5 m/s，汽车没有超速， A项正确，B项错误；如果立即做匀减速运动，速度减为零需要时间t2＝＝1.6 s，此过程通过的位移为x2＝a2t＝6.4 m，C项正确，D项错误．
【例2】 (全国高考)已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等．求O与A的距离．
答案
解析 首先画出运动情况示意图：
解法一 基本公式法
设物体的加速度为a，到达A点时的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间都为t，则有l1＝v0t＋at2
l1＋l2＝2v0t＋a (2t)2
联立以上二式得l2－l1＝at2
3l1－l2＝2v0t
设O与A的距离为l，则有l＝
联立以上几式得l＝.
解法二 利用推论法
由连续相等时间内的位移之差公式得：
l2－l1＝at2①
又由平均速度公式：vB＝②
l＋l1＝③
由①②③得：l＝.
[规范思维] (1)合理选用公式可简化解题过程．本题中解法二中利用位移差求加速度，利用平均速度求瞬时速度，使解析过程简化了．
(2)对于多过程问题，要注意x、v0、t等量的对应关系，不能“张冠李戴”．
[针对训练2] (安徽省2010届高三第一次联考)一个质点正在做匀加速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，由闪光照片得到的数据，发现质点在第一次、第二次闪光的时间间隔内移动了2 m；在第三次、第四次闪光的时间间隔内移动了8 m．由此可求得( )
A．第一次闪光时质点的速度
B．质点运动的加速度
C．从第二次闪光到第三次闪光这段时间内质点的位移
D．质点运动的初速度
答案 C
解析 质点运动情况如图所示．照相机照相时，闪光时间间隔都相同，第一次、第二次闪光的时间间隔内质点通过的位移为x1，第二次、第三次闪光时间内质点位移为x2，第三、四次闪光时间内质点位移为x3，则有x3－x2＝x2－x1，所以x2＝5 m.
由于不知道闪光的周期，无法求初速度、第1次闪光时的速度和加速度．C项正确．
二、用匀变速运动规律分析两类匀减速运动
1．刹车类问题：即匀减速直线运动到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意先确定其实际运动时间．
2．双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号．
3．逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速运动．
【例3】 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，后汽车通过的距离是多少？
答案 40 m
解析 设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．
v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at0得
t0＝＝ s＝4 s
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止，最后1 s是静止的．
由x＝v0t＋at2知刹车后5 s内通过的距离
x＝v0t0＋at02＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
[规范思维] 此题最容易犯的错误是将t＝5 s直接代入位移公式得x＝v0t＋at2＝[20×5＋×(－5)×52] m＝37.5 m，这样得出的位移实际上是汽车停止后又反向加速运动1 s的总位移，这显然与实际情况不相符．
[针对训练3] 物体沿光滑斜面上滑，v0＝20 m/s，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)物体多长时间后回到出发点；
(2)由开始运动算起，求6 s末物体的速度．
答案 (1)8 s (2)10 m/s，方向与初速度方向相反
解析 由于物体连续做匀减速直线运动，加速度不变，故可以直接应用匀变速运动公式，以v0的方向为正方向．
(1)设经t1秒回到出发点，此过程中位移x＝0，代入公式x＝v0t＋at2，并将a＝－5 m/s2代入，得
t＝－＝－ s＝8 s.
(2)由公式v＝v0＋at知6 s末物体的速度
vt＝v0＋at＝[20＋(－5)×6] m/s＝－10 m/s.[Ks5u.com]
负号表示此时物体的速度方向与初速度方向相反.
【基础演练】
1．(北京市昌平一中2010第二次月考)某人欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机停止运动前在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，则飞机着陆时的速度为( )
A. B. C. D.到之间的某个值
答案 B
解析 根据公式＝＝解得v＝
2．(福建省季延中学2010高三阶段考试)在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹．在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是14 m，假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7，g取10 m/s2，则汽车刹车前的速度大小为( )
A．7 m/s B．10 m/s C．14 m/s D．20 m/s
答案 C
解析 设汽车刹车后滑动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律可得μmg＝ma，a＝μg
由匀变速直线运动速度—位移关系式v＝2ax，可得汽车刹车前的速度为
v0＝＝
＝ m/s＝14 m/s
3．(2010·聊城模拟)物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置x处的速度为v1，在中间时刻t时的速度为v2，则v1和v2的关系为( )
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1>
C.＝＝ D．若θ增大，则的值减小
答案 BC
7. (2011·天津五校联考)如图5所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速运动，依次经a、b、c、d到达最高点e.已知ab＝bd＝6 m，bc＝ 1 m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2 s，设小球经b、c时的速度分别为vb、vc，则( )
图5
A．vb＝ m/s B．vc＝3 m/s
C．de＝3 m D．从d到e所用时间为4 s
答案 BD
【能力提升】
8．(2011·上海闸北八中学月考)某动车组列车以平均速度v行驶，从甲地到乙地的时间为t.该列车以速度v0从甲地出发匀速前进，途中接到紧急停车命令后紧急刹车，列车停车后又立即匀加速到v0，继续匀速前进．从开始刹车至加速到v0的时间是t0，(列车刹车过程与加速过程中的加速度大小相等)，若列车仍要在t时间内到达乙地．则动车组列车匀速运动的速度v0应为( )
A. B. C. D.[Ks5u.com]
答案 C
解析 该动车组从开始刹车到加速到v0所发生的位移大小为·t0，依题意，动车组两次运动所用的时间相等，即＋t0＝t，解得v0＝，故正确答案为C.
9．(2010·天星调研)航空母舰(Aircraft Carrier)简称“航母”、“空母”，是一种可以供军用飞机起飞和降落的军舰．蒸汽弹射起飞，就是使用一个长平的甲板作为飞机跑道，起飞时一个蒸汽驱动的弹射装置带动飞机在两秒钟内达到起飞速度，目前只有美国具备生产蒸汽弹射器的成熟技术．某航空母舰上的战斗机，起飞过程中最大加速度a＝4.5 m/s2，飞机要达到速度v0＝60 m/s才能起飞，航空母舰甲板长L＝289 m，为使飞机安全起飞，航空母舰应以一定速度航行以保证起飞安全，求航空母舰的最小速度v的大小．(设飞机起飞对航空母舰的状态没有影响，飞机的运动可以看做匀加速直线运动)
答案 9 m/s
解析 解法一 若航空母舰匀速运动，以地面为参考系，设在时间t内航空母舰和飞机的位移分别为x1和x2，航母的最小速度为v，由运动学知识得
x1＝vt，x2＝vt＋at2，x2－x1＝L，
v0＝v＋at
联立解得v＝9 m/s.
解法二 若航空母舰匀速运动，以航空母舰为参考系，则飞机的加速度即为飞机相对航空母舰的加速度，当飞机起飞时甲板的长度L即为两者的相对位移，飞机相对航空母舰的初速度为零，设航空母舰的最小速度为v，则飞机起飞时相对航空母舰的速度为(v0－v)
由运动学公式可得(v0－v)2－0＝2aL，解得v＝9 m/s.
10．(2010·岳阳模拟)如图6所示，某直升飞机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机10时56分40秒由静止状态沿水平方向做匀加速直线运动，经过AB段加速后，进入BC段的匀速受阅区，11时准时通过C位置，如图7所示．已知xAB＝5 km，xBC＝10 km.问：
图6
图7
(1)直升飞机在BC段的速度大小是多少？
(2)在AB段飞机做匀加速直线运动时的加速度大小是多少？
答案 (1)100 m/s (2)1 m/s2
解析 (1)设BC段飞机做匀速直线运动的速度大小为v，运动的时间为t2.在AB段飞机做匀加速直线运动的时间为t1，加速度的大小为a.
对AB段，由平均速度公式得到：
(v＋0)/2＝xAB/t1①
对BC段，由匀速直线运动的速度公式可得：
v＝xBC/t2②
根据飞机10时56分40秒由A出发，11时准时通过C位置，则：[高考资源网]
t1＋t2＝200 s③
联立①②③，代入已知数据解得
v＝100 m/s，
(2)在AB段，由运动学公式v－v＝2ax得：
a＝v2/2xAB＝1 m/s2.
易错点评
1．在用比例法解题时，要注意初速度为0这一条件．若是匀减速运动末速度为0，应注意比例的倒置．
2．匀变速直线运动公式中各物理量是相对于同一惯性参考系的，解题中应注意参考系的选取．
3．解匀减速类问题，要注意区分“返回式”和“停止式”两种情形，特别是“停止式”要先判明停止时间，再根据情况计算．
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