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达人寄语
——科学复习、事半功倍我在北大等你！
我是北京大学大一的学生，身经高考，感触颇深．我的学习方法是：不是方法的方法——刻苦．起初我不刻苦，怕刻苦了也不能考第一，丢人！后来我试着刻苦，最终“刻苦”惊人地回报了我．“勤奋的态度＋科学的方法＋良好的心态＝成功”．学弟学妹们！十年磨砺，今朝亮剑，加油！我在北大等你！
“功和能”是物理学中一把万能的利剑，能量守恒是永恒的主题．大题当前，一定要沉着冷静，奇思妙想，灵活建模，规范解答，坚决拿下力学大题！
第5讲 功和能常考的4个问题(选择题、计算题)
主要题型：选择题、计算题
难度档次：
难度较大，考卷的高档题．知识点多、综合性强、题意较深邃，含有临界点，或多过程现象、或多物体系统．以定量计算为主，对解答表述要求较规范．一般设置或递进、或并列的2～3小问，各小问之间按难度梯度递增．,高考热点
1．做功的两个重要因素是：有力作用在物体上，且使物体在力的方向上________．功的求解可利用W＝Flcos α求，但F必须为________．也可以利用F－l图象来求；变力的功一般应用________间接求解．
2．功率的计算公式
平均功率P＝＝Fvcos α；
瞬时功率P＝Fvcos α，当α＝0，即F与v方向________________时，P＝Fv.
3．动能定理
W1＋W2＋…＝________．
特别提醒
(1)用动能定理求解问题是一种高层次的思维和方法．应该增强用动能定理解题的意识．
(2)应用动能定理解题时要灵活选取过程，过程的选取对解题的难易程度有很大影响．
4．机械能守恒定律
(1)mgh1＋mv＝mgh2＋mv
(2)ΔEp减＝ΔEk增(或ΔEk减＝ΔEp增)
守恒条件只有重力或弹簧的弹力做功．
特别提醒
(1)系统所受到的合力为零，则系统机械能不一定守恒．
(2)物体系统机械能守恒，则其中单个物体机械能不一定守恒．,状元微博
名师点睛
精细剖析“多过程”现象
力学综合题的“多过程现象”，一般由匀变速直线运动、平抛运动及圆周运动组成，各运动“子过程”由“衔接点”连接．解答时注意以下几点．
(1)由实际抽象相应的物理模型，确定研究对象，对物体进行受力、运动情况的分析，分析好可能的“临界点”．确定每一个“子过程”及其特点，特别是有些隐蔽的“子过程”．
(2)一般要画出物体的运动示意图．
(3)针对每一个“子过程”，应用运动规律、牛顿运动定律、动能定理、机械能守恒定律等，列出有效方程．要合理选用“过程性方程”与“瞬时性方程”，能列全过程的方程、不列分过程的方程．
(4)分析好“衔接点”速度、加速度等关系．如“点前”或“点后”的不同数值．
(5)联立方程组，分析求解.
常考问题14 对功、功率的理解及定量计算(选择题)
图5－1
【例1】 (2012·江苏卷，3)如图5－1所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )．
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析 小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A项正确．
答案 A
本题主要考查动能定理、瞬时功率的计算等，着重考查学生的理解能力和推理能力，难度中等．
图5－2
滑板运动已成为青少年所喜爱的一种体育运动，如图5－2所示，某同学正在进行滑板训练．图中AB段路面是水平的，BCD是一段半径R＝20 m的拱起的圆弧路面，圆弧的最高点C比AB段路面高出h＝1.25 m，若人与滑板的总质量为M＝60 kg.该同学自A点由静止开始运动，在AB路段他单腿用力蹬地，到达B点前停止蹬地，然后冲上圆弧路段，结果到达C点时恰好对地面压力等于，不计滑板与各路段之间的摩擦力及经过B点时的能量损失(g取10 m/s2)．则( )．
A．该同学到达C点时的速度大小为10 m/s
B．该同学到达C点时的速度大小为10 m/s
C．该同学在AB段所做的功为3 750 J
D．该同学在AB段所做的功为750 J
借题发挥
1．判断正功、负功或不做功的方法
(1)用力和位移的夹角θ判断．
(2)用力和速度的夹角θ判断．
(3)用动能变化判断．
2．计算功的方法
(1)按照功的定义求功．
(2)用动能定理W＝ΔEk或功能关系求功．当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功．
(3)利用功率公式W＝Pt求解．
3．计算功率的基本思路
(1)首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率．
(2)①平均功率的计算方法
a．利用P＝.
b．利用P＝Fvcos θ.
②瞬时功率的计算方法
P＝Fvcos θ，v是t时刻的瞬时速度．
课堂笔记
常考问题15 功能关系与曲线运动的综合(选择题)
图5－3
【例2】 (2012·安徽卷，16)如图5－3所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )．
A．重力做功2 mgR B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR D．克服摩擦力做功mgR
解析 小球到达B点时，恰好对轨道没有压力，只受重力作用，根据mg＝得，小球在B点的速度v＝.小球从P到B的过程中，重力做功W＝mgR，故选项A错误；减少的机械能ΔE减＝mgR－mv2＝mgR，故选项B错误；合外力做功W合＝mv2＝mgR，故选项C错误；根据动能定理得，mgR－Wf＝mv2－0，所以Wf＝mgR－mv2＝mgR，故选项D正确．
答案 D
图5－4
如图5－4所示是北京朝阳公园摩天轮，一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是( )．
A．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR
B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为m－mg
C．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2
D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR,阅卷感悟
错因档案
1．不能正确找出竖直平面内圆周运动的临界条件
2．对重要的功能关系不清楚
应对策略
1．应用功能关系解题，首先弄清楚重要的功能关系
(1)重力的功等于重力势能的变化，即WG＝－ΔEp
(2)弹力的功等于弹性势能的变化，即W弹＝－ΔEp
(3)合力的功等于动能的变化，即W合＝ΔEk
(4)重力之外(除弹簧弹力)的其他力的功等于机械能的变化，即W其他＝ΔE
(5)一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化ΔQ＝fl相对
(6)电场力做功等于电势能的变化，即WAB＝－ΔE
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
常考问题16 动能定理的应用(计算题)
图5－5
【例3】 (2012·重庆理综，23)如图5－5所示为一种摆式摩擦因数测量仪，可测量轮胎与地面间动摩擦因数，其主要部件有：底部固定有轮胎橡胶片的摆锤和连接摆锤的轻质细杆，摆锤的质量为m、细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动，摆锤重心到O点距离为L，测量时，测量仪固定于水平地面，将摆锤从与O等高的位置处静止释放．摆锤到最低点附近时，橡胶片紧压地面擦过一小段距离s(s?L)，之后继续摆至与竖直方向成θ角的最高位置．若摆锤对地面的压力可视为大小为F的恒力，重力加速度为g，求：
(1)摆锤在上述过程中损失的机械能；
(2)在上述过程中摩擦力对摆锤所做的功；
(3)橡胶片与地面之间的动摩擦因数．
解析 (1)选从右侧最高点到左侧最高点的过程研究．因为初、末状态动能为零，所以全程损失的机械能ΔE等于减少的重力势能，即：ΔE＝mgLcos θ.①
(2)对全程应用动能定理：WG＋Wf＝0，②
WG＝mgLcos θ，③
由②、③得Wf＝－WG＝－mgLcos θ④
(3)由滑动摩擦力公式得f＝μF，⑤
摩擦力做的功Wf＝－fs，⑥
④、⑤式代入⑥式得：μ＝.⑦
答案 (1)损失的机械能ΔE＝mgLcos θ (2)摩擦力做的功Wf＝－mgLcos θ
(3)动摩擦因数μ＝
本题对动能定理、功能关系、滑动摩擦力及其做功进行了考查，考查学生的理解能力及分析推理能力，中等难度．
如图5－6甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.6 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，与BC间的动摩擦因数未知，取g＝10 m/s2，求：
图5－6
(1)滑块到达B处时的速度大小；
(2)滑块在水平轨道AB上运动前2 m过程所用的时间；
(3)若到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C，则滑块在半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？
方法锦囊
应用动能定理解题的基本步骤
(1)选取研究对象，分析运动过程．
(2)
(3)明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2.
(4)列出动能定理的方程W合＝Ek2－Ek1及其他必要的解题方程，进行求解．
答题模板
解：对……(研究对象)
从……到……(过程)
由动能定理得……(具体问题的原始方程)①
根据……(定律)……
得……
(具体问题的原始辅助方程)……②
联立方程①②得……(待求物理量的表达式)
代入数据解得……(待求物理量的数值带单位)
课堂笔记
常考问题17 机械能守恒与力学知识的综合应用(计算题)
图5－7
【例4】 (2012·大纲全国卷，26)一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状，此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面如图5－7所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.
(1)求此人落到坡面时的动能；
(2)此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？
本题考查牛顿运动定律、机械能守恒定律，旨在考查学生的推理能力、分析综合能力和应用数学知识解决物理问题的能力，难度较大．
图5－8
(2012·温州五校联考)如图5－8所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现有一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2.求：
(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力FN的大小；
(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；
(3)若斜面已经满足(2)要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．
以题说法
1．机械能守恒定律的应用
(1)机械能是否守恒的判断
①用做功来判断，看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功代数和是否为零．
②用能量转化来判断，看是否有机械能转化为其他形式的能．
③对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示．
2．解决力学综合应用题目的方法
(1)在高考理综中，力学综合题均为“多过程”现象或多物体系统．解决手段有二：
一是力与运动的关系，主要是牛顿运动定律和运动学公式的应用；
二是功能关系与能量守恒，主要是动能定理和机械能守恒定律等规律的应用．
(2)对物体进行运动过程的分析，分析每一运动过程的运动规律．
(3)对物体进行每一过程中的受力分析，确定有哪些力做功，有哪些力不做功．哪一过程中满足机械能守恒定律的条件．
(4)分析物体的运动状态，根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解．
课堂笔记
有些高考题之所以难，往往是由于某些条件或过程过于隐蔽，挖掘出这些隐含的条件或物理过程，是成功解决物理问题的关键．现举两例考题，探究挖掘隐含条件的方法．
一、从物理规律中去挖掘
如【典例1】(2010·上海物理，25)
小球匀速运动由动能定理得：
WF－WG－Wf＝0
由此可知，Wf＝0时
―→WF最小―→Ff＝0―→FN＝0(Ff＝0―→FN＝0，即本题的隐含条件)
由动能定理―→找出隐含条件―→问题迎刃而解
图5－9
【典例1】 (2010·上海物理，25)如图5－9所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端，为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角α＝________，拉力大小F＝________．
解析 设拉力F对小球做的功为WF，小球克服重力做的功为WG，小球克服摩擦力做的功为Wf，对小球应用动能定理得WF－WG－Wf＝0，
由此可知，当小球克服摩擦力做的功Wf＝0时，拉力做功最小，也即当小球与斜杆间的摩擦力为零时，拉力做的功最小，此时，小球与斜杆间无压力，其受力情况如图．由平衡条件得：
F cos α＝mgsin 30°，F sin α＝mgcos 30°，
联立解得，α＝60°，F＝mg.
答案 60° mg
二、从物理过程中去挖掘
如【典例2】(2010·全国卷Ⅱ，24)
题中“求……可能值”，为什么结果会出现可能值呢？原因就隐含在运动过程中．
仔细分析物块的运动过程，不难找出物块的运动情况有两种可能性，所以物块停止的地方与N点距离也就有两种可能值．
解这类问题时，一定要认真审题．
,
图5－10
【典例2】 (2010·全国卷Ⅱ，24)如图5－10所示，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板．M相对于N的高度为h，NP长度为s.一木块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处．若在MN段的摩擦可忽略不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N点距离的可能值．
解析 设物块从开始下滑到停止在水平轨道上的过程中，物块滑行的路程为s′，由动能定理得，mgh－μmgs′＝0，解得s′＝.
第一种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，在N前停止，则物块停止的位置距N的距离为d＝2s－s′＝2s－.
第二种可能是：物块与弹性挡板碰撞后，可再一次滑上光滑圆弧轨道，滑下后在水平轨道上停止，则物块停止的位置距N的距离为d＝s′－2s＝－2s
所以物块停止的位置距N的距离可能为2s－或－2s.
答案 2s－或－2s
1．(2012·海南单科，7)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )．
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功
B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关
D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量
2．(2012·山东理综，16)将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v－t图象如图5－11所示．以下判断正确的是( )．
图5－11
A．前3 s内货物处于超重状态
B．最后2 s内货物只受重力作用
C．前3 s内与最后2 s内货物的平均速度相同
D．第3 s末至第5 s末的过程中，货物的机械能守恒
3．(2012·上海单科，18)如图5－12所示，位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )．
图5－12
A．F2＝F1 v1>v2 B．F2＝F1 v1F1 v1>v2 D．F2μmgcos 37°(或μF1时，有v1>v2、v1
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