第3讲 机械能守恒定律及其应用
重力做功与重力势能 Ⅱ(考纲要求)
1.重力做功的特点
重力所做的功只跟初始位置和末位置的竖直高度有关，跟物体的运动路径无关．
2．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①概念：物体由于被举高而具有的能．
②表达式：Ep＝mgh.
③矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增大．
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
3．弹性势能
(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能．
(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp.
机械能守恒定律及其应用 Ⅱ(考纲要求)
1.机械能
动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
(2)表达式：
mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22
3．守恒条件
只有重力或弹簧的弹力做功．
1．(2012·广州模拟)第16届亚运会于2010年11月12日至11月27日在广州举行．亚运会中的投掷链球、铅球、铁饼和标枪等体育比赛项目都是把物体斜向上抛出的运动，如图所示，这些物体从被抛出到落地的过程中( )．
A．物体的机械能先减小后增大
B．物体的机械能先增大后减小
C．物体的动能先增大后减小，重力势能先减小后增大
D．物体的动能先减小后增大，重力势能先增大后减小
答案 D
2．关于重力势能，下列说法中正确的是( )．
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
解析 物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错．物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错．重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错．重力做的功量度了重力势能的变化，D选项正确．
答案 D
3．下列物体中，机械能守恒的是( )．
①做平抛运动的物体 ②被匀速吊起的集装箱 ③光滑曲面上自由运动的物体 ④物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
解析 物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以①、③项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律mg－F＝m×g，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．
答案 C
图4－3－1
4．(2012·杭州模拟)如图4－3－1所示在光滑水平面上有一物体，它的左端接连着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )．
A．弹簧的弹性势能逐渐减少
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少
D．弹簧的弹性势能先减少后增加
解析 开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，物体先向右加速运动后向右减速运动，所以物体的机械能先增大后减小，所以B错．弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少再增加，D正确．
答案 D
图4－3－2
5．如图4－3－2所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高为2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为( )．
A. B.
C. D.
解析 小球恰能到达最高点B，
则小球在最高点处的速度v＝.
取地面重力势能为零，
铁球在B点处的总机械能为mg×3L＋mv2＝mgL，
无论轻绳是在何处断的，铁球的机械能总是守恒的，
因此到达地面时的动能mv′2＝mgL，
故小球落到地面的速度v′＝，正确答案为D.
答案 D
考点一 机械能是否守恒的判断
从守恒的条件来理解对单个物体，看是否“只有重力做功”；对由多个物体(包括弹簧)组成的系统，看是否“没有摩擦和介质阻力”．
【典例1】
如图4－3－3所示，
图4－3－3
固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )．
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大
解析 圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于环的机械能变化量，C正确，圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小，即：最终状态弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以弹性势能是先增加后减小最后又增大，B、D错误．
答案 C
——判断机械能是否守恒的方法
(1)利用机械能的定义判断：分析动能与势能的和是否变化．如：匀速下落的物体动能不变，重力势能减少，物体的机械能必减少．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化，而无机械能与其他形式的能的转化，则系统的机械能守恒．
(4)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等问题机械能一般不守恒，除非题中有特别说明或暗示．
【变式1】
(2011·茂名模拟)关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( )．
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
解析 做匀速直线运动的物体与做圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误，C正确．
答案 C
考点二 机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律的三种表达形式及用法
(1)E2＝E1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，表示系统末状态机械能的总和与初状态机械能的总和相等．运用这种形式的表达式时，应选好参考面．若初、末状态的高度已知，整个系统除地球外只有一个物体时，运用这种形式比较简单，即常说的“守恒观点”．
(2)ΔEk增＝ΔEp减或ΔEk减＝ΔEp增，表示系统减少(或增加)的动能等于系统增加(或减少)的势能．运用这种形式时，一般针对初、末状态的高度未知，但高度变化已知的情况．运用的关键在于弄清重力势能的增加(或减少)量，可不选取参考面而直接计算初、末状态的势能差，即常说的“转化观点”．
(3)ΔEA增＝ΔEB减或ΔEA减＝ΔEB增，表示若系统由A、B两部分组成，则A物体机械能的增加(或减少)与B物体机械能的减少(或增加)相等．即常说的“转移观点”．
【典例2】
如图4－3－4所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失地滑入第一个圆管形轨道．根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道．在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5 mg，然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离为h＝2.25 m．若第一个圆管轨道的半径为R，第二个圆管轨道的半径为r，g取10 m/s2，管的内径及人相对圆管轨道的半径可以忽略不计：则：
图4－3－4
(1)挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑？
(2)挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功？
(3)挑战者入水时的速度大小是多少？
解析 (1)挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，可得出mg＝m
设挑战者从离水平轨道H高处的地方开始下滑正好运动到A点对管壁无压力，在此过程中机械能守恒
mgH＝mvA2＋mg×2R
解得H＝
(2)在B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，根据牛顿第二定律得：mg－FN＝，
挑战者在从A到B的运动过程中，利用动能定理得：
mg×2(R－r)－WF＝mvB2－mvA2
联立解得WF＝mgR－mgr
(3)设挑战者在第二个圆管轨道最低点D处的速度为v，则
－mg×2r＝mvB2－mv2解得v＝·
挑战者离开第二个圆管轨道后在平面上做匀速直线运动，然后做平抛运动落入水中，在此过程中机械能守恒，设挑战者入水时的速度大小为v′，则mgh＋mv2＝mv′2
解得：v′＝3.
答案 (1)R (2)mgR－mgr (3)3
——应用机械能守恒定律的基本思路
物体或系统.进行受力、做功分析.机械能是否守恒
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp
或ΔEA＝－ΔEB联立方程求解
【变式2】
(2012·沈阳、长春、哈尔滨联考)
图4－3－5
如图4－3－5所示，静止放在长直水平桌面上的纸带，其上有一小铁块，它与纸带右端的距离为0.5 m，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为x＝0.8 m．已知g＝10 m/s2，桌面高度为H＝0.8 m，不计铁块大小，铁块不滚动．求：
(1)铁块落地时的速度大小；
(2)纸带从铁块下抽出所用的时间及开始时铁块距左侧桌边的距离．
解析 (1)设铁块抛出时的初速度为v0，由平抛运动规律可得水平方向：x＝v0t
竖直方向：H＝gt2
解得：v0＝2 m/s
再由机械能守恒可得：mgH＋mv02＝mv2
得v＝2 m/s
(2)纸带从铁块下抽出所用的时间与铁块向左运动到桌边的时间相等．开始时铁块距左侧桌边的距离就等于铁块在桌面上向左运动的位移．
铁块向左加速运动过程中，a＝＝μg＝1 m/s2
铁块从静止开始向左运动的位移设为L.
由v02＝2aL 得：L＝2 m
由公式v0＝at 得：t＝2 s.
答案 (1)2 m/s (2)2 s
4.机械能守恒定律应用中的几种模型
机械能守恒定律属于高考的高频考点，在实际问题中我们如果能正确建立几种典型的机械能守恒的模型．将有利于对此类问题的分析和解决．
(1)轻连绳模型
此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐含条件．
图4－3－6
【典例1】 如图4－3－6所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中( )．
A.M、m各自的机械能分别守恒
B.M减少的机械能等于m增加的机械能
C.M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D.M和m组成的系统机械能守恒
解析 M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，
还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误．
答案 BD
(2)轻连杆模型
这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
图4－3－7
【典例2】 质量分别为m和M(其中M＝2m)的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图4－3－7所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是( )．
A.Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒
B.P球的重力势能增加、动能减小，P球和地球组成的系统机械能守恒
C.P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒
D.P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒
解析 Q球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q球运动的阻力(重力是动力)，对Q球做负功；P球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力(重力是阻力)，对P球做正功．所以，由功能关系可以判断，在Q球下摆过程中，P球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q球重力势能减少、机械能减少；由于P球和Q球整体只有重力做功，所以系统机械能守恒．本题的正确答案是C.
答案 C
(3)轻弹簧模型
此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒，不同的过程中弹性势能的变化一般是相同的．
图4－3－8
【典例3】 (2011·成都测试)如图4－3－8所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动卸货装置将质量m＝2 kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被
压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；
(2)满足设计要求的木箱质量．
解析 (1)设木箱质量为m′，
对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：
m′gsin 37°＋μm′gcos 37°＝m′a
代入数据解得：a＝8 m/s2.
(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为Ep，
根据能量守恒定律：
货物和木箱下滑过程中有：
(m′＋m)gLsin 37°＝μ(m′＋m)gLcos 37°＋Ep
木箱上滑过程中有
Ep＝m′gLsin 37°＋μm′gLcos 37°
联立代入数据解得：
m′＝m＝2 kg.
答案 (1)8 m/s2 (2)2 kg
一、机械能是否守恒的判断(低频考查)
1．(2011·课标全国卷，16改编)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是( )．
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析 运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确．从蹦极绳张紧到最低点弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确．除重力、弹力之外无其他力做功，故系统机械能守恒，选项C正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．
答案 D
图4－3－9
2．(2011·上海综合，7)用如图4－3－9所示装置可以研究动能和重力势能转化中所遵循的规律．在摆锤从A位置由静止开始向下摆动到D位置的过程中( )．
①重力做正功，重力势能增加
②重力的瞬时功率一直增大
③动能转化为重力势能
④摆线对摆锤的拉力不做功
⑤若忽略阻力，系统的总机械能为一恒量
A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤
解析 摆锤向下运动，重力做正功，重力势能减小，故①错误．由于开始静止，所以开始重力的功率为零，在D位置物体v的方向与重力垂直，PG＝Gvcos θ，可知PG＝0，而在从A位置摆动到D位置的过程中，重力功率不为零，所以摆锤重力的瞬时功率先增大后减小，②错误．在向下运动的过程中，重力势能减小，动能增加，故③错误．摆线拉力与v方向始终垂直，不做功，只有重力做功，故机械能守恒，故④、⑤正确，选D.
答案 D
二、机械能守恒定律的应用(高频考查)
3．(2009·浙江)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图4－3－10所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，s＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
图4－3－10
解析 设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，
由平抛运动的规律s＝v1t，h＝gt2，
解得v1＝s ＝3 m/s.
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，
最低点的速度为v3，由牛顿运动定律及机械能守恒定律得：
mg＝m，mv32＝mv22＋mg(2R)，
解得v3＝4 m/s.
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4 m/s.
设电动机工作时间至少为t，根据动能定理
Pt－fL＝mvmin2，由此可得t＝2.53 s.
答案 2.53 s
图4－3－11
4．(2011·北京卷，22)如图4－3－11所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)．
(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小．
(2)由图示位置静止释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．
解析 (1)受力图见右图
根据平衡条件，应满足
Tcos α＝mg，Tsin α＝F.
联立解得拉力大小F＝mgtan α.
(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒，有mgl(1－cos α)＝mv2.
则通过最低点时，小球的速度大小v＝.
根据牛顿第二定律有T′－mg＝m.
解得轻绳对小球的拉力
T′＝mg＋m＝mg(3－2cos α)，方向竖直向上．
答案 (1)受力图如解析图所示 mgtan α
(2) mg(3－2 cos α)，方向竖直向上.
【点此下载】