第2讲 运动电荷在磁场中受到的力
一、洛伦兹力的大小和方向
1．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力
F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力
F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法：应用左手定则
①磁感线垂直穿过掌心．
②四指指向正电荷运动的方向．
③拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B和v决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)
3．特点
(1)洛伦兹力始终与速度方向垂直．
(2)洛伦兹力不做功，只改变速度方向．
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．
2．若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
1．有关洛伦兹力和安培力的描述，正确的是( )
A．通电直导线在匀强磁场中一定受到安培力的作用
B．安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现
C．带电粒子在匀强磁场中运动受到的洛伦兹力做正功
D．通电直导线在磁场中受到的安培力方向与磁场方向平行
解析： 当通电直导线放置的方向与匀强磁场的方向平行时，通电直导线不受安培力的作用，则A错误；安培力是大量运动电荷所受的洛伦兹力的宏观表现，B正确；由于带电粒子所受的洛伦兹力的方向与粒子的速度方向始终是垂直的关系，因此洛伦兹力不做功，C错误；由左手定则可知，磁场的方向与安培力的方向垂直，D错误．
答案： B
2．带电粒子垂直匀强磁场方向运动时，会受到洛伦兹力的作用．下列表述正确的是( )
A．洛伦兹力对带电粒子做功
B．洛伦兹力不改变带电粒子的动能
C．洛伦兹力的大小与速度无关
D．洛伦兹力不改变带电粒子的速度方向
解析： 根据洛伦兹力的特点，洛伦兹力对带电粒子不做功，A错，B对．根据F＝qvB，可知洛伦兹力的大小与速度有关，C错．洛伦兹力的效果就是改变物体的运动方向，不改变速度的大小，D错．
答案： B
3．如图所示，将一阴极射线管置于一通电螺线管的正上方，且在同一水平面内，则阴极射线将( )
A．向外偏转 B．向里偏转
C．向上偏转 D．向下偏转
解析： 由安培定则可知通电螺线管在阴极射线处磁场方向竖直向下，阴极射线带负电，结合左手定则可知其所受洛伦兹力垂直于纸面向外．难度易．
答案： A
4．(2012·大纲全国卷)质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动．已知两粒子的动量大小相等．下列说法正确的是( )
A．若q1＝q2，则它们做圆周运动的半径一定相等
B．若m1＝m2，则它们做圆周运动的半径一定相等
C．若q1≠q2则它们做圆周运动的周期一定不相等
D．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
解析： 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由qvB＝m得r＝，同一匀强磁场，即B相等，又因为两粒子的动量大小相等，所以有r∝，若q1＝q2，则r1＝r2，故A选项正确，B选项错误；由周期公式T＝，由于B相等，2π为常数，所以T∝，故C、D选项错误．
答案： A
5.电子质量为m、电荷量为q，以速度v0与x轴成θ角射入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后落在x轴上的P点，如图所示，求：
(1)O的长度；
(2)电子从由O点射入到落在P点所需的时间t.
解析： (1)过O点和P点作速度方向的垂线，两线交点C即为电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，如图所示，则可知O＝2R·sin θ
Bqv0＝m
解得：O＝sin θ.
(2)由图中可知：2θ＝ωt＝t
又v0＝ωR＝，解得：t＝.
答案： (1) sin θ (2)
1．对洛伦兹力的理解
(1)只有运动电荷在磁场中才有可能受到洛伦兹力作用，静止电荷在磁场中不受洛伦兹力作用．
(2)有关洛伦兹力的方向的理解
①由于电荷有正负之分，故四指指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向．
②洛伦兹力垂直于v和B所决定的平面．
③洛伦兹力始终和粒子的运动方向垂直．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
质量为m、带电荷量为q的小物块，从倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示．若带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，下列说法中正确的是( )
A．小物块一定带正电荷
B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动
C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动
D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面压力为零时的速率为
解析： 小物块沿斜面下滑对斜面作用力为零时受力分析如图所示，小物块受到重力G和垂直于斜面向上的洛伦兹力F作用，故小物块带负电荷，A错误；小物块在斜面上运动时合力等于mgsin θ保持不变，做匀加速直线运动，B正确，C错误；小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面压力为零时有qvB＝mgcos θ，则有v＝，D正确．
答案： BD
1－1：电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下面说法中正确的是( )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子只受到洛伦兹力作用时，运动的动能不变
答案： BD
(2012·安徽理综)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )
A.Δt B．2Δt C.Δt D．3Δt
解析： 设带电粒子以速度v进入磁场做圆周运动，圆心为O1，半径为r1，则根据qvB＝，得r1＝，根据几何关系得＝tan ，且φ1＝60°.
当带电粒子以v的速度进入时，轨道半径r2＝＝＝r1，圆心在O2，则＝tan .
即tan＝＝＝3tan＝.
故＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t＝T，所以＝＝，即Δt2＝2Δt1＝2Δt，故选项B正确，选项A、C、D错误．
答案： B
1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三步法
2．不同直线边界的匀强磁场中带电粒子的运动轨迹的特点
(1)直线边界(进出磁场具有对称性)
(2)平行边界(存在临界条件)
(3)圆周运动中的对称规律
如果粒子从某一直线边界射入磁场，再从同一边界射出磁场时，速度与边界的夹角相等．
3．圆形磁场区域的规律要点
(1)相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图(a)所示．
(2)直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小，如图(b)所示．
2－1：如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力)，从A点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中( )
A．运动时间相同
B．运动轨迹的半径相同
C．重新回到边界时速度大小和方向相同
D．重新回到边界时与A点的距离相等
解析： 两偏转轨迹的圆心都在射入速度方向的垂线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示．
由此可知它们的运动时间分别为t1＝，t2＝；轨迹半径R＝相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与A点距离相等，为d＝2R·sin θ.故B、C、D正确．
答案： BCD
1．放缩法
带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP′上．
由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．
如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )
A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0则它一定从ab边射出磁场
解析： 如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出经历的时间一定小于t0；从ab边射出经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc 边射出经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出经历的时间一定是t0.所以选项A、C正确．
答案： AC
2．平移法
带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝mv0/(qB)，如图所示．同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径R＝mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上．
由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R＝mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”．
如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
(1)速度的大小；
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦．
解析： (1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得：
qvB＝①
由①式得：R＝②
画出沿＋y方向以为半径做匀速圆周运动轨迹如图①所示，再画出从坐标原点O沿与y轴正方向成一定夹角射出，以半径R0(
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