带电粒子在磁场中运动的极值问题是学生学习的难点。中学阶段，考虑到带电粒子以速度v垂直于磁场方向进入有界匀强磁场，在只受洛仑兹力作用时，粒子做匀速圆周运动的这一特点，而极值问题又涉及到粒子的初速度的大小、方向，以及磁场的形状、边界等条件的约束。能否从分析带电粒子在磁场中所做圆周运动轨迹的变化出发，运用直观的几何知识来简单地解决具体问题呢？为了突破这一难点，本专题就用动态圆分析带电粒子在磁场中运动的极值问题。应用“动态圆分析法”思考过程如下： 下面通过具体实例说明这个方法的运用。 【例1】如图1所示，经x轴的上方（y≥0）存在着垂直纸面向外的磁场，磁感应强度为B，在原点O处有一离子源向x轴上方任意方向发射质量为m，电量为q的正离子，速率都为v 。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能达到的最大位移X= ，最大位移Y= 。（重力不计）. 【解析】由于离子在O点向x轴上方任意方向以相同的速率v发射，很容易确定全部离子在磁场中做圆周运动的动态圆的圆心，都在以O为圆心、半径为
的半圆周ADC弧上，如图2所示。很显然，沿y轴入射以D为圆心做圆周运动的离子将在x轴上有最大位移X，且X=OP=2
；同理沿x轴负方向入射的离子，在y轴上有最大的位移Y，且Y=OQ=2
。 [ 【例2】如图3所示，在边界为AA′、DD′ 狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场区域宽度为d 。电子以不同的速率v从边界AA′ 的S处沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟AA′ 的夹角为θ。已知电子的质量为m ，带电量为e 。为使电子能从另一边界DD′ 射出，问电子的速率应满足什么条件？（重力不计）. 【解析】由
，得：
不同速率的电子以相同的方向射入磁场后，做半径不同的圆周运动。由左手定则决定的这些动态圆的圆心都在与v方向垂直的射线SP上，如图4所示。图中沿1、2轨迹运动的电子均从AA′ 射出，而沿4、5轨迹运动的电子均从DD′ 射出。于是动态圆由1、2向4、5渐变过程中，总存在一个临界圆，相应的临界半径为r0 ，如图4中轨迹3所示。 当r < r0 ，电子从AA′ 射出；当r > r0时，电子从DD′射出。因此，该临界圆心与DD′相切。由几何关系得：
将
代入上式求解，得临界速率为：
故当
时，电子便从另一边界DD′ 射出。 【点评】电子以相同方向不同大小的速率由同一点射入磁场，动态圆的 半径不同，但其圆心都在过入射点且与初速度方向垂直的射线上。 【例3】如图5，在边界AA′ 、DD′ 狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为d。电子枪S发射质量为m、电量为e的电子。当电子枪水平发射时，在右侧DD′ 边界发现了电子；当电子枪在竖直平面内转动到某一位置发射时，恰好在左侧的AA′ 边界发现了电子，试画出电子在磁场中运动轨迹，并计算该电子在边界AA′ 的射入点和射出点间的距离（电子射入的速度始终为v0）. 【解析】：在0 ~ π范围内由电子枪S射入磁场的电子，其动态圆的圆心都在以S为圆心，半径为r的圆周EOF上，如图6所示，当电子水平发射时，在右侧的DD′ 边界发现电子，由
得到一隐含的重要的约束条件：
。 因此，只有圆心在O ，动态圆刚好与DD′相切时所对应的电子恰好能从AA′ 边界射出，所以该电子在磁场中的运动轨迹是弧线SQC，由几何关系，得：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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