2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.4 三角函数的图像与性质
考纲要求
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．
4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
知识梳理
1．周期函数及最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫作f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
定义域
x∈R
x∈R
x∈R且x≠＋
kπ，k∈Z
值域
______
______
______
单调性
在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z
在______上递增，k∈Z；
在______上递减，k∈Z
在______上递增，k∈Z
最值
x＝______(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝______(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝____(k∈Z)时，ymax＝1；x＝______(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
________
________
________
对
称
性
对称中心
______
______
______
对称轴
______
______
无对称轴
最小正
周期
______
______
______
3．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
Y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝____
f＝＝___
ωx＋φ
φ
4．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．
X
____
____
____
____
____
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋
φ)
0
A
0
－A
0
5．函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的步骤
基础自测
1．函数y＝cos的图像的一条对称轴方程是( )．
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝π
2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图像的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )．
A．0 B．1 C．－1 D
3．把y＝sinx的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sin ωx的图像，则ω的值为( )．
A．1 B．4 C． D．2
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )．
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
5．已知函数f(x)＝2sin的图像如图所示，则f＝__________.
思维拓展
1．是否每一个周期函数都有最小正周期？
提示：不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它的周期．
2．正弦函数和余弦函数的图像的对称轴及对称中心与函数图像的关键点有什么关系？
提示：y＝sin x与y＝cos x的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．
3．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，首先确定哪些数据？
提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，π，，2π，然后求出x的值．
4．在图像变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图像时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．
一、求三角函数的定义域和值域
【例1】求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x.
方法提炼1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：
(1)利用sin x，cos x的值域；
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
请做[针对训练]3
二、三角函数的性质应用
【例2】设函数f(x)＝cos ωx(sin ωx＋cos ωx)，其中0＜ω＜2.
(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时，f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图像的一条对称轴为x＝，求ω的值，并求f(x)在哪个区间上是减少的．
方法提炼1．求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)利用图像．
2．三角函数的对称性：
正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图像只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．
3．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)＋k和y＝Atan(ωx＋φ)＋k的单调区间类似．
请做[针对训练]4
三、三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
【例3】设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在一个周期上的图像；
(3)说明函数f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变换而得到．
方法提炼1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图像时，应列出该区间内的特殊点．
2．图像变换法
(1)平移变换
①沿x轴平移，按“左加右减”法则；
②沿y轴平移，按“上加下减”法则．
(2)伸缩变换
①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的倍(纵坐标y不变)；
②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)．
请做[针对训练]1
四、求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式
【例4－1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像的一部分如图所示：
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
【例4－2】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
方法提炼确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
请做[针对训练]2
五、三角函数模型的应用
【例5】已知某海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
请做[针对训练]5
考情分析
从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的平移和伸缩变换，以及根据图像确定A，ω，φ的问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法．
预测2013年高考仍将以三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性以及三角函数图像的变换为主要考点．
针对训练
1．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin的图像，则φ等于( )．
A． B． C． D．
2．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点( )．
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3．函数y＝ln(sin x－cos x)的定义域为__________．
4．已知函数f(x)＝2sincos＋cos.
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
5．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．f(x＋T)＝f(x)
2．{y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R
[(2k－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] ＋2kπ
－＋2kπ 2kπ π＋2kπ 奇 偶 奇 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 2π 2π π
3．
4．－ － － －
－
5．|φ| A A
基础自测
1．B 解析：令2x＋＝kπ(k∈Z)．即x＝－(k∈Z)，检验知，x＝－，
故选B.
2．A 解析：由题意，周期T＝，∴ω＝＝4.则f＝tan＝tan π＝0.故选A.
3．C 解析：y＝sin xy＝sin＝sinx，∴ω＝.
4．D 解析：由题意得ω＝＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
又f(0)＝，即2sin φ＝，
∴sin φ＝，∵|φ|＜，
∴φ＝，故选D.
5．0 解析：由图像知T＝π，
所以T＝.所以ω＝3.
所以f(x)＝2sin.
故f＝2sin＝0.
考点探究突破
【例1】解：(1)y＝＝2sin x(1－sin x)＝－22＋.
∵－1＜sin x≤1，∴y∈，即值域为.
(2)y＝sin2x＋2sin x·cos x＋3cos2x＝＋sin 2x＋＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2.
故函数值域为[2－，2＋]．
【例2】解：f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋.
(1)因为T＝π，所以ω＝1.
当－≤x≤时，2x＋∈，
所以f(x)的值域为.
(2)因为f(x)的图像的一条对称轴为x＝.
所以2ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
ω＝k＋(k∈Z)．
又0＜ω＜2，所以－＜k＜1.又k∈Z.
所以k＝0，ω＝.
此时f(x)＝sin＋，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)在区间
(k∈Z)上是减少的．
【例3】解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2
＝2sin.
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2)列出下表，并描点画出图像如图.
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝2sin
0
2
0
－2
0
(3)把y＝sin x图像上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图像，再把y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像，然后把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图像．
【例4－1】解：(1)由图像可知，函数的最大值M＝3，最小值m＝－1，
则A＝＝2，b＝＝1.
又T＝2＝π，
∴ω＝＝＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
将x＝，y＝3代入上式，
得sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1.
(2)由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ，k∈Z，
∴f(x)＝2sin＋1的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
【例4－2】解：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)
＝2
＝2sin.
因为f(x)为偶函数，
所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin＝sin，即－sin ωxcos＋cos ωxsin＝sin ωxcos＋cos ωxsin，
整理得sin ωxcos＝0.
因为ω＞0，且x∈R，
所以cos＝0.
又因为0＜φ＜π，故φ－＝.
所以f(x)＝2sin＝2cos ωx.
由题意得＝2·，所以ω＝2.
故f(x)＝2cos 2x.
因此f＝2cos ＝.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到f的图像．
所以g(x)＝f
＝2cos＝2cos.
当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)是减少的．
因此g(x)的递减区间为(k∈Z)．
【例5】解：(1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为，
∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cost＋1＞1，∴cost＞0，
∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，
即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0,1,2，得0≤t＜3，或9＜t＜15，或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
演练巩固提升
针对训练
1．D 解析：∵y＝sin＝sin＝sin，
∴φ＝.
2．A 解析：由图像知A＝1，T＝π，
∴ω＝2.∴y＝sin(2x＋φ)．
又图像过点，
∴sin＝1.
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，y＝sin，故A满足条件．
3．
解析：由已知得sin x－cos x＞0，
即sin x＞cos x.
在[0,2π]内满足sin x＞cos x的x的集合为.
又正弦、余弦函数的周期为2π，
∴所求定义域为.
4．解：(1)f(x)＝sin＋cos＝2sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝4π.
当sin＝－1时，f(x)取得最小值－2，
当sin＝1时，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
又g(x)＝f，
∴g(x)＝2sin
＝2sin＝2cos.
∴g(－x)＝2cos＝2cos＝g(x)，
∴函数g(x)是偶函数．
5．解：解法一：(1)连接MP.依题意，有A＝2，＝3，又T＝，∴ω＝，
∴y＝2sinx，当x＝4时，y＝2sin＝3，
∴M(4,3)，又P(8,0)，∴MP＝＝5.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.
设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°.
由正弦定理得＝＝.
∴NP＝sin θ，
MN＝sin(60°－θ)．
∴NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)＝＝sin(θ＋60°)．
∵0°＜θ＜60°，∴60°＜θ＋60°＜120°，
∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长．
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．
解法二：(1)同解法一．
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
由余弦定理得MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤2，从而(MN＋NP)2≤25，
即MN＋NP≤，
当且仅当MN＝NP时等号成立．
亦即，设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．
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