幻灯片 11.1.3 四种命题间的相互关系
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、四种命题的相互关系
¬p
¬q
¬q
¬p
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幻灯片 4思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对?
提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对.
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幻灯片 5二、四种命题的真假关系
1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:
真
真
假
真
假
真
假
假
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幻灯片 62.四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为_________,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为_________或_________,其真假性没有关系.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个互逆命题的真假性相同.( )
(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( )
(3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( )
逆否命题
互逆命题
互否命题
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幻灯片 7提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命题也没有.
(2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真假性相同,为等价命题.
(3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若01,此命题的四种命题均为假命题.
答案:(1)× (2)√ (3)√
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幻灯片 8【知识点拨】
1.对四种命题相互关系的两点认识
(1)四种命题中,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称特征.
(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,记原命题为a、逆命题为b、否命题为c、逆否命题为d,四种命题中共有6对命题:a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d.
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幻灯片 9它们之间的关系为:
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幻灯片 102.对四种命题真假关系的两点说明
(1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶数,即真命题可能有4个、2个或0个.
(2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也是反证法的一种变通形式.
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幻灯片 11类型一 四种命题的相互关系
【典型例题】
1.下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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幻灯片 122.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.
【解题探究】1.写四种命题的关键是什么?
2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系?
探究提示:
1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题的条件和结论.
2.一个命题与它的逆否命题同真同假.
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幻灯片 13【解析】1.选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命题.故选B.
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幻灯片 142.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0,
∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0.
∴方程x2+x-m=0有实数根.
∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.
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幻灯片 15方法二:原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.
∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,
∴m<- ≤0,
∴命题“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.
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幻灯片 16【拓展提升】判断四种命题之间四种关系的两种方法
方法一:利用四种命题的定义判断;
方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
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幻灯片 17【变式训练】下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.
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幻灯片 18【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x>|y|,所以x>0”.当y≥0时,x>y;当y<0时,x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x2>1,则x>1”,是假命题.因为x2>1,所以x<-1或x>1;选项C:它的否命题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0,所以是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.
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幻灯片 19类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用
【典型例题】
1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是 命题(填真、假).
2.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若x2≠9,则x≠3.
(2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2.
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幻灯片 20【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点?
2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理?
探究提示:
1.命题的条件和结论都是否定的形式.
2.当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.
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幻灯片 21【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原命题是真命题.
答案:真
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幻灯片 222.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3;
逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题.
(2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2;
逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根.
若a>2,则-a<-2,Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)<0,
所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假命题,
所以原命题为假命题.
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幻灯片 23【互动探究】若题2(2)的命题变为:
若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的真假?
【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根”的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命题是真命题.
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幻灯片 24【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用
(1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假.
(2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
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幻灯片 25【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)不内接于圆的四边形的对角不互补.
(2)若a+b<0,则a,b至少有一个小于0.
【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真命题.
(2)“若a+b<0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若a≥0,b≥0,则a+b≥0”,真命题,所以原命题是真命题.
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幻灯片 26【规范解答】等价命题在证明中的应用
【典例】
【条件分析】
【规范解答】证明原命题的逆否命题成立,
原命题为“若p3+q3=2,则p+q≤2”,
其逆否命题为“若p+q>2,则p3+q3≠2”.
证明如下:……………………………………………………2分
若p+q>2①,
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幻灯片 27则p>2-q,………………………………………………………3分
∴p3 >(2-q)3②,………………………………………………4分
∴p3+q3>(2-q)3+q3.…………………………………………6分
又(2-q)3+q3
=(8-12q+6q2-q3)+q3…………………………………………8分
=6q2-12q+8
=6(q-1)2+2≥2.③……………………………………………10分
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幻灯片 28∴p3+q3>2,
即p3+q3≠2,…………………………………………………11分
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
………………………………………………………………12分
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幻灯片 29【失分警示】
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幻灯片 30【防范措施】
1.正难则反思想的应用
若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题的真假来说明原命题的真假.
2.不等式性质的应用
不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问题时要灵活应用,如本例中由a>b可推出a3>b3(但由a>b不一定推出a2>b2).
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幻灯片 31【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2”为真命题.
∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2.
∴原命题的逆否命题为真命题,∴原命题成立.
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幻灯片 321.与命题“若m∈M,则n∉M”等价的命题是( )
A.若m∉M,则n∉M B.若n∉M,则m∈M
C.若m∉M,则n∈M D.若n∈M,则m∉M
【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.
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幻灯片 332.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
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幻灯片 34【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这个函数是幂函数,假命题.
否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假命题.
逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数,真命题.
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幻灯片 353.“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是 ,
否命题是 命题(填真、假).
【解析】“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是
“若tanθ≠ ,则θ≠60°”,是真命题.
答案:若tanθ≠ ,则θ≠60° 真
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幻灯片 364.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为 ,是 命题(填真、假).
【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为“10的常用对数是1”,是真命题.
答案:10的常用对数是1 真
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幻灯片 375.写出命题“设x为实数,若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:设x为实数,若x2>0,则x>0,逆命题为假命题;
否命题:设x为实数,若x≤0,则x2≤0,否命题为假命题;
逆否命题:设x为实数,若x2≤0,则x≤0,逆否命题为真命题.
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