幻灯片 12.3.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
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幻灯片 2----
幻灯片 3一、双曲线的简单几何性质
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
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幻灯片 4|F1F2|=2c
x≤-a
x≥a
R
y≤-a
y≥a
R
坐标轴
原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
(1,+∞)
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幻灯片 5思考:双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗?
提示:不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.
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幻灯片 6二、等轴双曲线
等轴双曲线是指_______________的双曲线.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)等轴双曲线的离心率是 .( )
(2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.( )
(3)离心率是 的双曲线为等轴双曲线.( )
实轴和虚轴等长
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幻灯片 7提示:(1)正确.∵a=b,∴c= a,∴
(2)错误.∵等轴双曲线中,a=b,∴渐近线方程为y=±x,
∴与双曲线方程无关.
(3)正确.满足等轴双曲线的定义.
答案:(1)√ (2)× (3)√
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幻灯片 8【知识点拨】
1.对双曲线的几何性质的四点说明
(1)双曲线的范围反映了其图象是两支,且在范围内向两方无限延伸.
(2)双曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(0,0)为对称中心,坐标轴为对称轴.
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幻灯片 9(3)双曲线的离心率对开口大小的影响.
双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲
线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得
以理解.(以双曲线 (a>0,b>0)为例)
∵ (e>1),∴e越大,渐近线y=± x斜率
的绝对值越大,即 越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变
得开阔.
由此可见,双曲线的离心率越大,它的开口就越大.
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幻灯片 10(4)双曲线渐近线的理解.
双曲线的渐近线是两条直线,当x,y趋向于无穷大时,双曲线
将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.
因为焦点在x轴上和y轴上的渐近线方程分别为y=± x和
y=± x,容易混淆,所以常把双曲线标准方程右边的常数写
成0,分解因式即得渐近线方程.
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幻灯片 112.双曲线与椭圆的六点不同
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幻灯片 12类型 一 由双曲线标准方程求几何性质
【典型例题】
1.(2013·宜春高二检测)双曲线x2- =-1的渐近线方程
为( )
A.y=±3x B.y=± x
C.y=± x D.y=± x
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幻灯片 132.(2013·南昌高二检测)设双曲线 (00,n<0时焦点在x轴上,m<0,n>0时焦点
在y轴上.
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幻灯片 16【解析】1.选D.方法一:把双曲线方程化为标准方程得
-x2=1,∴焦点在y轴上,∵a= ,b=1,
∴渐近线方程为y=± x=± x.
方法二:把方程中“-1”化为“0”得x2- =0
即y=± x.
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幻灯片 172.选D.由条件知l : 即bx+ay-ab=0,
∴ 即ab= c2.
∴16a2(c2-a2)=3c4即3e4-16e2+16=0,
解得e2=4或 .
∵b>a>0,∴e=
∴e=2.
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幻灯片 183.把方程x2-16y2=1化为标准方程得x2- =1,
由此可知半实轴长a=1,半虚轴长b= ,c=
所以焦点坐标为(- ,0),( ,0),离心率e=
顶点坐标为(-1,0),(1,0),渐近线方程为y=± x.
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幻灯片 19【拓展提升】
1.由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤
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幻灯片 202.求双曲线离心率的两种方法
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幻灯片 21【变式训练】求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【解题指南】首先把方程化为标准形式,再确定焦点位置,然后研究性质.
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幻灯片 22【解析】双曲线的方程化为标准形式是
∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=
又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(- ,0),( ,0).
实轴长2a=6,虚轴长2b=4.
离心率e= 渐近线方程为y=± x.
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幻灯片 23类型 二 利用几何性质求双曲线标准方程
【典型例题】
1.(2013·唐山高二检测)已知双曲线的渐近线为y=± x,焦点
坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
A. B.
C. D.
2.(2013·汝阳高二检测)双曲线的离心率等于2,且与椭圆
有相同的焦点,求此双曲线的标准方程.
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幻灯片 24【解题探究】1.只根据渐近线方程能确定双曲线焦点的位置吗?
2.求双曲线的标准方程常用的方法是什么?
探究提示:
1.不能.因为渐近线确定时,双曲线不确定.
2.求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法.
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幻灯片 25【解析】1.选D.双曲线的渐近线为y=± x,焦点在x轴上,
双曲线方程可设为x2- =λ(λ>0),
即 =1,a2=λ,b2=3λ,
∵焦点坐标为(-4,0),(4,0),
∴c=4.
c2=a2+b2=4λ=16⇒λ=4,
∴双曲线方程为
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幻灯片 262.∵椭圆 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),
则可设双曲线方程为 (a>0,b>0),
∵c=4,又双曲线的离心率等于2,即 =2,
∴a=2,∴b2=c2-a2=12.
故所求双曲线方程为
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幻灯片 27【互动探究】题2中,把“相同的焦点”改为“相同的顶点”,
双曲线的方程如何?
【解析】∵椭圆 的顶点为(-5,0),(5,0),
(0,-3),(0,3),
当顶点为(-5,0),(5,0)时,焦点在x轴上,且a=5,又 =2,
∴c=10,
从而b2=75,∴标准方程为
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幻灯片 28当顶点为(0,-3),(0,3)时,
焦点在y轴上,且a=3,又e= =2,
∴c=6,∴b2=c2-a2=36-9=27,
∴标准方程为
综上可知,双曲线的标准方程为 或
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幻灯片 29【拓展提升】待定系数法求双曲线标准方程的步骤
当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意
分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),
从而直接求得.
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幻灯片 30【变式训练】(2013·亳州高二检测)双曲线与椭圆
有相同焦点,且经过点( ,4),求双曲线的方程.
【解题指南】∵椭圆的焦点在y轴上,∴可以直接设双曲线方
程为 也可以直接设成 再列方程(组)
求解.
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幻灯片 31【解析】方法一:由题意知双曲线焦点为F1(0,-3),F2(0,3),
可设双曲线方程为 点( ,4)在曲线上,代入得a2=4或a2=36(舍),
∴双曲线的方程为
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幻灯片 32方法二:由题意知双曲线的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),
可设双曲线的方程为 (a>0,b>0).
由条件知,点( ,4)在双曲线上,
∴2a=
∴a=2,b2=c2-a2=32-22=5,
∴双曲线的方程为
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幻灯片 33类型 三 与双曲线的渐近线有关的问题
【典型例题】
1.(2013·黄冈高二检测)已知双曲线 的一条渐近
线方程为y= x,则该双曲线的离心率e为 .
2.已知双曲线中心在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(3,-1),
一条渐近线与直线3x-y=10平行,求双曲线的标准方程.
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幻灯片 34【解题探究】1.根据 能确定焦点的位置吗?
2.由双曲线上的点及渐近线能确定焦点的位置吗?
探究提示:
1.因为m,n的符号不定,所以由 不能确定焦点的
位置.
2.能.可根据点与渐近线的位置关系确定焦点的位置.
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幻灯片 35【解析】1.当双曲线的焦点在x轴上时,
∵渐近线方程为y= x,∴
∴离心率
当双曲线的焦点在y轴上时,
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幻灯片 36∵渐近线方程为y= x,
∴ 这时
∴离心率
故双曲线的离心率为 或 .
答案: 或
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幻灯片 372.由已知,双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,由于其中一
条渐近线与直线l:3x-y=10平行,
所以,双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,即y=3x.
可设双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).由于双曲线过点
P(3,-1),所以9×32-(-1)2=λ,即λ=80.
∴所求双曲线的标准方程为
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幻灯片 38【拓展提升】
1.求双曲线渐近线方程的两种方法
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幻灯片 392.根据渐近线方程求双曲线方程
(1)若双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线方程可表
示为 (λ≠0).
(2)与双曲线 (a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程
可表示为 (a>0,b>0,λ≠0);与双曲线
(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可表示为
(a>0,b>0,λ≠0).
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幻灯片 40【变式训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程.
【解析】方法一:双曲线的渐近线方程可写成
因此双曲线的方程可写成 (λ≠0).
由焦点在x轴上,知λ>0,双曲线的方程可写成
由c=4,知16λ+9λ=16,即λ=
故所求双曲线的标准方程为
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幻灯片 41方法二:由已知条件知双曲线的焦点在x轴上且
解得a= ,b= ,c=4,
所以双曲线的标准方程为
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幻灯片 42【易错误区】混淆双曲线的位置关系导致列错方程致误
【典例】(2012·湖北高考)如图,双曲线
(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚
轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2
为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则
(1)双曲线的离心率e= .
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
= .
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幻灯片 43【解析】(1) = ①,化简得:
a2+ac-c2=0,即e2-e-1=0.又e>1,则
(2)由题意知:S1=2bc,在△OF2B2中连接OA,则|AF2|=b,
矩形ABCD边长|AD|= ,|AB|= ,S2= ,
则
答案:(1) (2)
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幻灯片 44【误区警示】
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幻灯片 45【防范措施】
1.位置关系不要混乱
解决解析几何问题,常常在复杂的图形中,容易混淆位置关系,解题时,要搞清a,b,c的几何意义,从而准确地列出方程,本例中,圆的半径是a,也是原点到菱形F1B1F2B2的四边的距离.
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幻灯片 462.转化思想不要忘记
解题中,往往第(1)问的结论对第(2)问的影响很大,所以做题时要把第(2)问的解题靠拢第(1)问的结论,如本例中,离心率在第(1)问中已求出,要善于借用,把(2)中的比例关系转化为离心率的关系.
3.数形结合协助解题
解题时,要强化数形结合的作用,“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,了解数与形结合的重要性,对解题有很大的帮助.如本例,若要借助图形,转化结果就会轻松求解.
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幻灯片 47【类题试解】(2013·唐山高二检测)已知双曲线的方程为
(a>0,b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距
离为 c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.渐近线取y= x即bx-ay=0.焦点取F2(c,0),
则 从而3b= c,解得e=
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幻灯片 481.双曲线 的焦点到渐近线的距离为( )
A.2 B.2 C. D.1
【解析】选A.双曲线的焦点是(-4,0)和(4,0),渐近线方程为
y=± x,∴焦点到渐近线的距离是
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幻灯片 492.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【解析】选C.将双曲线方程2x2-y2=8化为
a=2,实轴长2a=4.
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幻灯片 503.与椭圆 +y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A. -y2=1 B. -y2=1
C. D.x2- =1
【解析】选B.椭圆 +y2=1的焦点为(± ,0),因为双曲线与
椭圆共焦点,所以排除A,C.又双曲线 -y2=1经过点(2,1),
故选B.
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幻灯片 514.已知等轴双曲线的焦距为4,则该等轴双曲线的方程为 .
【解析】当焦点在x轴上时,方程设为 则2a2=4,
∴a2=2,即双曲线方程为 同理焦点在y轴上时,
双曲线方程为
答案: 或
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幻灯片 525.双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,
则该双曲线的离心率的值为 .
【解析】由已知得 所以 故
即 所以e=
答案:
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幻灯片 536.中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦
点F1,F2,且|F1F2|=2 ,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差
为4,离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程.
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幻灯片 54【解析】由已知:c= ,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,
双曲线半实轴、半虚轴长分别为m,n,
则
解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.
∴椭圆方程为 双曲线方程为
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