幻灯片 1第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 ---- 幻灯片 2---- 幻灯片 3一、空间向量的定义与表示法 1.定义：在空间，既具有_____，又具有_____的___叫做空间 向量． 2.表示法： (1)几何表示法：用有向线段 表示，A叫做向量的_____，B 叫做向量的_____． (2)字母表示法：用字母 或_______…表示. 大小 方向 量 起点 终点 a,b,c, ---- 幻灯片 4思考：向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？ 提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一 个量． ---- 幻灯片 5二、空间向量的有关概念 大小 |a| 0 0 1 相同 相等 相等 相反 ---- 幻灯片 6判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．( ) (2)在空间中，单位向量不唯一．( ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( ) (4)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( ) (5)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大 小．( ) ---- 幻灯片 7提示：(1)错误．同平面向量一样，规定零向量的方向是任意 的、不确定的. (2)正确． 模为1的向量称为单位向量，显然单位向量不唯一. (3)正确．方向相同，且模相等的向量为相等向量．据此，相 等向量与起点和终点的位置无关，故任意一个向量可以进行 平移. (4)正确．模相等，且方向相反的向量为相反向量，显然，互 为相反向量的两个向量必共线. ---- 幻灯片 8(5)正确．向量是一个“量”，而不是一个“数”，所以不能 比较大小． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ ---- 幻灯片 9三、空间向量的加法与减法运算 b+a a+(b+c) ---- 幻灯片 10思考：有些空间向量不能用同一平面内的有向线段来表示，所以向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则对空间向量不适用．对吗？ 提示：不对．虽然有些空间向量不能用同一平面内的有向线段来表示，但仍然可以用首尾相接的有向线段来表示，所以向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则对空间向量仍然适用. ---- 幻灯片 11【知识点拨】 1.空间向量与平面向量的对比 (1)所处范围:平面向量的范围是在同一个平面的范围内，而空间向量则是在空间的范围内. ---- 幻灯片 12(2)是否共面:平面向量中的所有向量都是共面的，而空间中，任意两个向量都是共面的，三个向量则有可能是不共面的，如图所示. (3)性质推广:平面向量的所有的性质在空间中仍然成立,空间向量的有关问题通常转化为平面向量来解决． ---- 幻灯片 132.对零向量、单位向量的认识 (1) (2)单位向量的特点： ①长度为1； ②方向与已知条件有关,一般地,在空间的任意方向上都有单 位向量,且在某一确定的方向上有惟一一个单位向量． ---- 幻灯片 143.对空间相等向量以及相反向量的认识 (1)共同点:两者模都是相同的,且为共线向量. (2)不同点:方向不同. 4.关于空间向量的加减运算法则的几点说明 (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一 个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平面 向量的加减法. (2)若空间两个向量的始点相同，则这两个向量即为平面向 量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则． ---- 幻灯片 15(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量，如图： ---- 幻灯片 16(4)对空间向量加法运算律的认识. ①由于空间任意两个向量都可以转化为平面向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律． ②对于空间向量的加法满足结合律，可以利用平行六面体从同一顶点出发的三条棱所在的三个向量解释，无论如何推证，这三个向量的和一定为以此顶点为起点的对角线所在的向量. ---- 幻灯片 17类型 一 空间向量及其有关概念 【典型例题】 1．给出下列命题: ①将空间中所有的单位向量移到同一个点作为起点, 则它们 的终点构成一个圆； ②若空间向量a,b满足|a|=|b|, 则a=b； ---- 幻灯片 18③在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 必有 ④若空间向量m,n,p满足m=n，n=p， 则m=p. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ---- 幻灯片 192.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连 接的向量中，与向量 相等的向量有______；与向量 相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) ---- 幻灯片 20【解题探究】1.如何对向量的有关概念性问题进行辨析？ 2.相等向量与相反向量有何区别与联系? 探究提示： 1.应与平面向量进行对比，注意空间向量与平面向量的联系与区别，准确把握空间向量的概念是解答问题的关键． 2.相等向量的模相等，且方向相同；相反向量的模也相等，但方向相反. ---- 幻灯片 21【解析】1．选B. ①是假命题,将空间中所有的单位向量移到 同一点作为起点时, 它们的终点构成一个球面, 而不是一个 圆. ②是假命题,根据向量相等的定义, 要保证两向量相等, 不仅模相等, 而且方向也相同，而②中的向量a,b的方向不一 定相同．③是真命题，根据正方体的性质，向量 与向量 的方向相同且模相等，是相等向量．④是真命题,向量的 相等具有传递性,故选B． ---- 幻灯片 222．因为模相等且方向相同的向量为相等向量，模相等且方向 相反的向量为相反向量，所以，在平行六面体顶点连接的向 量中，与 相等的向量有 与 相反的向量有 答案: ---- 幻灯片 23【拓展提升】有关空间向量概念辨析题应注意的问题 (1)向量是既有大小又有方向的量，两向量只有模相等且方向相同时才能相等. (2)向量平行与线段平行是不同的. (3)零向量与任意向量都平行. ---- 幻灯片 24【变式训练】判断下列命题的真假: (1)四点A,B,C,D构成平行四边形ABCD的充要条件是 (2)任一向量与它的相反向量不相等. (3)若 是相反向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上. (4)相等的向量，若起点相同，则终点一定相同. ---- 幻灯片 25【解析】(1)是必要条件，不是充分条件，因为 时有 可能A，B，C，D四点共线，是假命题. (2)零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等 的，是假命题. (3)相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上，是假 命题. (4)根据相等向量的特点知，相等向量的起点相同，则终点一 定相同，是真命题. ---- 幻灯片 26类型 二 空间向量的加减运算 【典型例题】 1.化简： 2.如图，已知空间四边形ABCD中， 试用a,b,c表示向量 ---- 幻灯片 27【解题探究】1．使用向量加法的平行四边形法则应注意什么要素？ 2．使用向量加减法的三角形法则应注意什么要素？ 探究提示： 1．使用向量加法的平行四边形法则应注意的要素是：“起点相同”． 2．使用向量加法的三角形法则的要素是：“首尾相接，指向终点”；减法的要素是：“起点相同，指向被减”. ---- 幻灯片 28【解析】1.方法一(统一成加法运算)： ---- 幻灯片 29方法三(利用 )： 设O是空间内的任意一点，则 答案：0 ---- 幻灯片 30---- 幻灯片 31【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 化简. (3)利用 把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简. ---- 幻灯片 322．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”. ---- 幻灯片 33【变式训练】已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，以如图所示中一对顶点构造向量，使它们分别等于： ---- 幻灯片 34【解题指南】解答本题首先应注意是以平行六面体的一对顶 点构造向量，可根据向量加减法的运算法则将所给向量式化 简,从而向目标靠拢． 【解析】(1) ---- 幻灯片 35 空间向量加减运算的应用 【典型例题】 1.在如图所示的平行六面体中，求证： ---- 幻灯片 362．正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E,F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，求下列各题中的x,y的值： ---- 幻灯片 37【解析】1．∵平行六面体的六个面均为平行四边形， 又由于 ---- 幻灯片 382．(1) ---- 幻灯片 39---- 幻灯片 40【拓展提升】利用向量解决几何问题的一般思路 ---- 幻灯片 41【易错误区】对空间向量的概念理解不到位而致错 【典例】下列说法中，正确的个数为( ) ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若向量 满足 且 同向，则 ③若两个非零向量 满足 则 为相反 向量． A.0 B.1 C.2 D.3 ---- 幻灯片 42【解析】选B．①错误．两个空间向量相等，其模相等，且 方向相同①，与起点和终点的位置无关； ②错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小②； ③正确． 且 为非零向量，所以 为相反向量. ---- 幻灯片 43【误区警示】 ---- 幻灯片 44【防范措施】 1．注意空间向量与平面向量的联系与区别 空间向量与平面向量的概念不尽相同，反映在一个在空间，一个在平面，解答与空间向量有关概念问题时，应将空间向量的有关概念和平面向量的有关概念反复对照，注意它们的区别与联系，特别是细微之处的差别，同时要注意培养空间想象的能力，如本例体现的对空间向量的说法均与平面向量有共同之处． ---- 幻灯片 452．理解空间向量概念的实质 应抓住“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个 “量”，而不是一个数，所以不能比较大小，如本例说 法②体现的问题．在空间中，一个向量平移到任何位置， 仍与原来的向量相等，与起点和终点的位置无关． ---- 幻灯片 46【类题试解】设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( ) A.a与b的长度相等 B.a与b可能相等 C.a与b所在的直线平行 D.a是b的相反向量 【解析】选C．对于A,当b与a为相反向量时，大小相等，方向 相反，故正确. 对于B,当a与b为零向量时，也符合条件，则此时a与b相等， 故正确. 对于C,a与b所在的直线可能平行，也可能重合，故C错误. 对于D,根据相反向量的定义知正确. ---- 幻灯片 471.下列说法正确的是( ) A.零向量即是模为零的向量，所以它没有方向 B.在空间，向量不可以平行移动 C.如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 【解析】选D.规定零向量的方向是任意的,所以A不正确； 由相等向量的定义知,B,C均不正确，D正确. ---- 幻灯片 482.已知a是空间的一个单位向量，则a的相反向量的模为_____. 【解析】∵a是一个单位向量，∴-a也是一个单位向量，其模 为1. 答案：1 ---- 幻灯片 493.如图所示，a,b是两个空间向量， 则 是______向量， 是______向量． 【解析】 的方向相同，且模相等，所以是相等向量； 的方向相反，但模相同，所以是相反向量． 答案：相等 相反 ---- 幻灯片 504.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若 则 (用a，b，c表示). 【解析】 答案：-a+b-c ---- 幻灯片 515.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 若 试用向量a,b,c表示向量 【解析】 ----
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