幻灯片 13.1.3 空间向量的数量积运算
----
幻灯片 2----
幻灯片 3一、空间向量的夹角
1.定义：
(1)条件：a,b是空间的两个_____向量.
(2)作法：在空间任取一点Ｏ，作
(3)结论：______叫做向量a,b的夹角，记作________．
非零
∠AOB
〈a,b〉
----
幻灯片 42.范围：〈a,b〉∈_________，其中，
(1)当〈a,b〉=0时，a与b的方向_____.
(2)当〈a,b〉=π时，a与b的方向_____.
(3)当 时，a与b互相_____，记作_____．
［0,π］
相同
相反
垂直
a⊥b
----
幻灯片 5思考：若a,b是空间的两个非零向量，则〈-a,b〉=〈a,-b〉
=〈a,b〉，对吗？
提示：不对．∵-a与a，-b与b分别是互为相反向量，
∴〈-a,b〉=〈a,-b〉=π-〈a,b〉．
----
幻灯片 6二、空间向量的数量积
1.定义：
(1)条件：a,b是两个非零向量.
(2)结论：把__________________叫做a,b的数量积.
(3)记法：a·b，即a·b=__________________．
2.运算律：空间向量a,b满足
(1)数乘向量与向量数量积的结合律:(λa)·b=_________.
(2)交换律:a·b=_____.
(3)分配律:a·(b+c)=__________.
|a||b|cos〈a,b〉
|a||b|cos〈a,b〉
λ(a·b)
b·a
a·b+a·c
----
幻灯片 7判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量.( )
(2)零向量与任意向量的数量积等于零.( )
(3)若a·b=k，则 ( )
----
幻灯片 8提示：(1)正确.由数量积的定义式a·b=｜a||b|cosθ知其为数量而不是向量，故正确.
(2)正确.由数量积的定义式知此说法正确.
(3)错误.向量的运算与乘法运算不同.
答案：(1)√ (2)√ (3)×
----
幻灯片 9【知识点拨】
1.对空间向量夹角的理解
(1)任意两个非零向量的夹角是唯一确定的,即〈a,b〉=
〈b,a〉.
(2)向量的夹角与直线的夹角有联系但也有区别.例如,直线AB
与CD的方向向量分别是a,b,若〈a,b〉不是大于90°的角，则
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 则AB⊥CD.
----
幻灯片 102.空间向量数量积的性质及几何意义
(1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零.
(2)若向量a,b是非零向量，则
(3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|·
cos〈a,b〉;
②
③a·a=|a|2.
(4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方
向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
----
幻灯片 113.空间向量数量积运算与运算律
向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合
律，不满足：
①消去律：即由a·b=b·c不能推出a=c，即向量不能约分；
②乘法结合律：即(a·b)c=a(b·c)不一定成立，这是因为
(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共
线的向量，但c与a不一定共线．
----
幻灯片 12类型 一 空间向量数量积的运算
【典型例题】
1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点
E,F分别是BC，AD的中点，则
2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1
的中心，F为A1D1的中点.试计算：
----
幻灯片 13【解题探究】1.题1中已知四边形各边的长及对角线长，若
求 需要如何转化?
2.进行空间向量数量积的运算，关键是确定什么要素？
探究提示：
1.题1需要把 转化为利用空间四边形的边长或对角线
长表示.
2.关键是根据已知条件确定有关向量的模及其夹角．
----
幻灯片 14【解析】1.由题意知，
答案：
----
幻灯片 152.设 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b
=b·c=c·a=0,如图所示.
(1)∵
----
幻灯片 16(2)∵
(3)
----
幻灯片 17【拓展提升】空间向量的数量积的运算方法
(1)紧扣定义:进行空间向量的数量积的运算时,应紧扣数量积的定义，即利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉，并正确运用数量积的运算律．
(2)利用性质:在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知向量表示后再进行运算.在解题过程中注意适当地选择向量，以简化步骤.
----
幻灯片 18类型 二 利用向量的数量积处理垂直问题
【典型例题】
1.如图，已知△ABC在平面α内，
∠A=90°，DA⊥平面α, 则直线
CA与DB的位置关系是________.
2.已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC,且
OA=OB=OC.M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点.
求证:OG⊥BC.
----
幻灯片 19【解题探究】1.用向量法判定两直线垂直的依据是什么？
2.题2中若用向量法证明OG⊥BC,能直接证明 吗？
需要做如何转化？
探究提示：
1.用向量法判定两直线垂直的依据是此两直线所在的向量
的数量积为0.
2.不能直接证明 应把 利用 表
示后再证明.
----
幻灯片 20【解析】
∴CA⊥DB.
答案：垂直
2.如图，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,
又设 则|a|=|b|=|c|.
又
----
幻灯片 21----
幻灯片 22【拓展提升】用向量法证明垂直问题的一般思路
用向量证明立体几何中的垂直问题，最主要的是将几何问题转化为向量问题．直线与直线垂直可转化为向量垂直；线面垂直可直接转化为线线垂直，进而转化为向量垂直．其解答步骤一般为：
----
幻灯片 23----
幻灯片 24【变式训练】如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′.(2)AC′⊥平面B′CD′．
----
幻灯片 25【证明】(1)
----
幻灯片 26(2)∵
可知,
同理可证,AC′⊥B′D′.
又 平面B′CD′,B′C∩B′D′=B′,
∴AC′⊥平面B′CD′.
----
幻灯片 27类型 三 利用数量积求异面直线的夹角
【典型例题】
1．(2012·桂林高二检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中，若
则异面直线A1B与C1A所成的角
等于( )
----
幻灯片 282．(2012·绍兴高二检测)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1
中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上
的点，且EB=BF=1，求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．
----
幻灯片 29【解题探究】1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是
什么？
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出哪些量的值?
探究提示：
1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出
与 的值.
----
幻灯片 30【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
----
幻灯片 31故A1B与C1A所成的角等于
----
幻灯片 322．设
则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
----
幻灯片 33----
幻灯片 34同理可求得，
∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为
----
幻灯片 35【拓展提升】利用数量积求异面直线的夹角(或余弦值)的步骤
----
幻灯片 36提醒：两异面直线所成角的范围为 两个向量的夹角范
围为［0,π］，利用数量积求异面直线所成的角时，要注意
角度的转化．
----
幻灯片 37【变式训练】已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，
E，F分别为AB，OC的中点，求向量 与向量 所成角的
余弦值.
【解析】如图所示,设 且|a|=|b|=|c|=1,
易知
则
因为
----
幻灯片 38所以
设 所成的角为θ,
∴向量 与向量 所成角的余弦值为
----
幻灯片 39类型 四 利用向量的数量积求距离(即线段长度)
【典型例题】
1．如图，已知二面角α-l-β，A∈α，B∈β,AA′⊥l于
A′，BB′⊥l于B′,AA′=4，A′B′=5，BB′=3，若二面
角α-l-β的大小为60°，则AB=______．
----
幻灯片 402．如图所示，在空间四边形OABC中，OA,OB,OC两两成60°角，且OA=OB=OC=2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，
F间的距离．
----
幻灯片 41【解题探究】1．对于题1，二面角α-l-β的大小与向量
的夹角有何关系？
2．对于题2，求E，F间的距离实际上可转化为求向量
的模，应如何转化？
探究提示：
1．根据二面角的平面角的定义，二面角α-l-β的大小就
等于
2．可根据向量的线性运算，转化为 的关系
求解．
----
幻灯片 42【解析】1.∵
即
----
幻灯片 43由题意知，
=4×3×cos 120°=-6，
答案：
----
幻灯片 442．
间的距离为
----
幻灯片 45【互动探究】题1中“若二面角α-l-β的大小为60°”改
为：“若二面角α-l-β为直二面角”，其他条件不变，结
果如何？
【解析】由题1解答知，
∵二面角α-l-β为直二面角，AA′⊥l，BB′⊥l，
----
幻灯片 46----
幻灯片 47【拓展提升】求线段的长度(或两点间的距离)的方法
利用空间向量的数量积求线段的长度或空间两点间的距离
的基本思路是转化为求向量的模，根据是：
需把握的问题为：
(1)明确所需向量的模及其夹角.
(2)能熟练运用空间向量的线性运算法则，把所需向量转化为
已知向量和、差的形式.
----
幻灯片 48(3)注意使用数量积的运算公式及常用公式，即
①a·b=|a||b|cos〈a,b〉；
②(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a).
----
幻灯片 49【变式训练】如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，
已知AB=2，AD=1，AA′=3，∠BAA′=∠BAD=∠DAA′=60°，
求A′C的长．
【解题指南】解答本题可考虑求向量 的模，将 用
线性表示，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+
2(a·b+b·c+c·a)进行计算即可．
----
幻灯片 50【解析】∵
即
----
幻灯片 51【规范解答】利用数量积求线段的长度
【典例】
【条件分析】
段
----
幻灯片 52【规范解答】∵ ①，…………………2分
即 …………6分
----
幻灯片 53∴
∵异面直线a,b所成的角为60°，
∴AB的长为 或6． ……………………………12分
----
幻灯片 54【失分警示】
----
幻灯片 55【防范措施】
1.求空间中的距离(线段的长度)的关键
准确把握向量的线性运算，掌握数量积的性质 是解答
该类问题的关键，如本例欲求AB的长，可考虑求 ，于
是可用 并正确运用数量积公式运算即可．
----
幻灯片 562.注意空间向量的夹角的辨别
空间向量通过平移，可转化为平面中的向量问题，注意两向
量的夹角的辨别方式是共起点，并注意向量的方向，如本例
异面直线a,b所成的角为60°，则根据 的方向辨别，则
就有可能等于60°或120°．
----
幻灯片 57【类题试解】(2013·邢台高二检测)如图，已知平面
α⊥β，A∈α，B∈β,AB与两平面α，β所成的角分别为
过A,B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′,若
AB=12，则求A′B′的值.
----
幻灯片 58【解析】
由题意知，
又由题意知，
----
幻灯片 591．已知i,j,k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k,b=i+j-3k，
则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.±1 D.2
----
幻灯片 60【解析】选A．a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)
=2i2+2i·j-6i·k-i·j-j2+3j·k+i·k+j·k-3k2
=2|i|2-|j|2-3|k|2+i·j-5i·k+4j·k,
∵i,j,k两两垂直，
∴i·j=0，i·k=0，j·k=0,
又|i|=|j|=|k|=1，
∴a·b=2|i|2-|j|2-3|k|2
=2-1-3=-2．
----
幻灯片 612.已知空间向量a,b,c两两夹角为60°，其模都为1，
则|a-b+2c|=( )
A. B.5 C.6 D.
----
幻灯片 62【解析】选A．因为|a|=|b|=|c|=1，
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
所以
a2=b2=c2=1,
所以
----
幻灯片 63 3.如图所示，棱长皆相等的四面体SABC中，D为SC的中点，
则BD与SA所成角的余弦值是( )
----
幻灯片 64【解析】选B.
即
故BD与SA所成角的余弦值为
----
幻灯片 654.在空间四边形ABCD中，化简
【解析】设
则
∴原式=b·(d-c)+(c-b)·d-c·(d-b)
=b·d-b·c+c·d-b·d-c·d+c·b=0.
答案：0
----
幻灯片 665.若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求cos〈a,b〉.
【解析】由(a+b)·(2a-b)=0,(a-2b)·(2a+b)=0,
得2a2+a·b-b2=0,2a2-3a·b-2b2=0,
即8a2-5b2=0,
所以
----
【点此下载】