幻灯片 1第2课时 空间向量与垂直关系
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幻灯片 2----
幻灯片 3空间中直线、平面垂直关系的向量表示
1.两直线垂直的关系：设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3),直
线m的方向向量为b=(b1,b2,b3),则l⊥m _____ ______________________.
2.直线与平面的垂直关系：设直线l的方向向量是
a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则l⊥α
__________.
a⊥b
a·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
a∥u
a=ku
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幻灯片 43.两个平面的垂直关系：若平面α的法向量为u=(a1,b1,c1),
平面β的法向量为v=(a2,b2,c2),则α⊥β____________.
u⊥v
u·v=0
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幻灯片 5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.( )
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直.( )
(3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( )
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幻灯片 6提示：(1)错误.两直线的方向向量平行，这两条直线也可能重合.
(2)正确.两向量的方向相同或相反，即两向量平行.
(3)正确.若两平面垂直，则其法向量垂直，故所成的角为90°.
答案：(1)×(2)√(3)√
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幻灯片 7【知识点拨】
1.空间中线、面垂直关系的三种类型
(1)空间两直线的垂直,分为相交垂直和异面垂直,都可以与两直线的方向向量相互垂直进行相互转化.
(2)直线与平面的垂直,空间直线与平面的垂直是与直线的方向向量与平面的法向量相互平行等价的.
(3)两个平面的垂直,两个平面的垂直与这两个平面的法向量相互垂直是等价的.
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幻灯片 82.利用直线的方向向量与平面的法向量处理垂直关系的关键
(1)直线与直线垂直：关键看两直线的方向向量是否垂直.
(2)直线与平面垂直：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否共线；或者看直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量是否垂直.
(3)平面与平面垂直：关键看两平面的法向量是否垂直.
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幻灯片 9类型 一 利用空间向量处理线线垂直问题
【典型例题】
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AC的中点，
证明：(1)BD1⊥AC.(2)BD1⊥EB1.
2.在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，点E是SB的中点，且底面ABCD是正方形，SD=AB，在线段SD上是否存在一点F，使AE⊥CF？
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幻灯片 10【解题探究】1.利用向量证明两条直线垂直的关键是什么？
2.解决探索性问题的一般思路是什么？
探究提示：
1.利用向量证明两条直线垂直，关键是证明或判定这两条直线的方向向量垂直，即其数量积为0.
2.解决探索性问题，一般是假设结论成立，然后把该结论作为解题条件，再结合题目的其他条件去推证求解，若能解出，则原结论成立；若推出矛盾，则说明原结论不成立.
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幻灯片 11【解析】1.以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，
y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，
0)， B1(1，1，1).
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幻灯片 122.如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，假设在线段SD上存
在一点F，使AE⊥CF，设SD=AB=1，则F(0，0，z)，C(0，1，
0)， 又S(0，0，1)，B(1，1，0),
由A(1，0，0)得
解得z=1.
即F(0，0，1)与S重合，故在线段SD上存在点F(0，0，1)，使
AE⊥CF.
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幻灯片 13【拓展提升】利用空间向量判断空间两直线垂直的方法
(1)基向量法：①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;
②把两直线的方向向量用基底表示;
③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
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幻灯片 14(2)坐标法:①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标;
③计算两直线方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
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幻灯片 15【变式训练】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底
面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且 求证: AB1⊥MN.
【证明】方法一:
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幻灯片 16----
幻灯片 17方法二:以M为原点,直线MC,MA分别为x轴、y轴,过B1C1的中点M1与M的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
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幻灯片 18类型 二 利用空间向量处理线面垂直问题
【典型例题】
1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是B1B，AB，BC的中点.证明:D1F⊥平面AEG.
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幻灯片 192.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB.
(2)证明：PB⊥平面EFD.
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幻灯片 20【解题探究】1.应用向量法证明线面垂直时，常常把线面垂直的问题转化为哪一类问题来解决？
2.题2中由已知条件应如何建系更简便，依据是什么？
探究提示：
1.应用向量法证明线面垂直，常常把证明线面垂直的问题转化为证明线线垂直的问题.
2.由PD⊥底面ABCD，由底面ABCD是正方形可知，应以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系更简便.
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幻灯片 21【解析】1.方法一:
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幻灯片 22方法二:以D为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴
的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则：
∴D1F⊥AG,D1F⊥AE,又AG∩AE=A,
∴D1F⊥平面AEG.
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幻灯片 23方法三:以D为原点， 的方向分别为x轴，y轴,z轴的
正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
设平面AEG的法向量n=(x,y,z)，则：
取y=1,则x=2,z=-2,∴n=(2,1,-2),
∴ ⊥平面AEG,即D1F⊥平面AEG.
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幻灯片 242.如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC=a.(也
可设DC=1)
(1)连接AC，交BD于G，连接EG.
依题意得
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为
这表明PA∥EG.
∴PA∥平面EDB.
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幻灯片 25(2)依题意得B(a,a,0),
∴PB⊥DE,由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD.
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幻灯片 26【互动探究】若题1中的条件不变,试证明:A1C⊥平面C1BD.
【解题指南】选择正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系后,可以求出平面C1BD内两条相交直线的方向向量,或求出平面C1BD的法向量.
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幻灯片 27【证明】以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z
轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，
0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2),A1(2，0，2)，C(0，2，0),
设平面C1BD的法向量是n=(x,y,z)，
取y=-1,则n=(1，-1，1)，
∴A1C⊥平面C1BD.
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幻灯片 28【拓展提升】用向量法证明线面垂直的方法与步骤
(1)基向量法.
①确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量;
②找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示;
③分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积,根据数量积为0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论.
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幻灯片 29(2)坐标法.
方法一:①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
④分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0;
方法二:①建立空间直角坐标系;
②将直线的方向向量用坐标表示;
③求出平面的法向量;
④判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
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幻灯片 30【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
【证明】设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)，
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幻灯片 31
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC=A,
∴EF⊥平面B1AC.
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幻灯片 32类型 三 利用空间向量处理面面垂直问题
【典型例题】
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面BDD1B1⊥平面ACB1.
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，AA1=1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
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幻灯片 33【解题探究】1.若两个平面垂直,其法向量有何位置关系？若两个平面的法向量相互垂直,这两个平面的位置关系如何？
2.平面的法向量与该平面的垂线有何关系？
探究提示：
1.若两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直；反过来说，若两个平面的法向量垂直，则这两个平面也垂直.
2.一个平面的法向量与该平面垂线的方向向量平行，所以有时若已知一个平面的垂线，则可以直接观察得到这个平面的法向量.
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幻灯片 34【解析】1.如图所示 ，以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1),
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幻灯片 35设平面ACB1的法向量为n=(x,y,z)，
令z=-1，则x=y=1,
∴n=(1，1，-1).
同理可以得到平面BDD1B1的一个法向量为m=(-1，1，0)，
∵n·m=-1+1=0,
∴n⊥m，
∴平面BDD1B1⊥平面ACB1.
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幻灯片 362.由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，分别以
BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，
C1(0，2，1)，
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幻灯片 37设平面AA1C1C的法向量为n1=(x,y,z),
令x=1,得y=1，∴n1=(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2=(a,b,c)，
令c=4，得a=1,b=-1,∴n2=(1，-1，4).
∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0，
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
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幻灯片 38【拓展提升】
1.利用空间向量证明面面垂直的方法
(1)利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题.
(2)直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
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幻灯片 392.向量法证明空间几何问题的两种基本思路
思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；
思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步:
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的量，把立体几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系.
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
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幻灯片 40【变式训练】如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,AB=AC=a，AA1=b，点E，F分别在棱BB1，CC1上，
当平面AEF⊥平面A1EF时，求λ的值.
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幻灯片 41【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则由题意可知
设平面AEF的法向量为n1=(x,y,z),则 即
令z=1，
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幻灯片 42同理可得平面A1EF的一个法向量为
∵平面AEF⊥平面A1EF，∴n1·n2=0,
解得 (负值舍去).
∴当平面AEF⊥平面A1EF时，
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幻灯片 43【规范解答】空间垂直关系的探索性问题
【典例】
【条件分析】
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幻灯片 44【规范解答】如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
P(0，1，a)①，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)②，
…………………………………………2分
……4分
设平面A1B1P的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
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幻灯片 45设平面C1DE的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
令y2=1,得x2=-2，z2=-1，∴n2=(-2,1,-1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE，
∴n1·n2=0，即-2(a-1)-1=0，得
∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE. ………… 12分
令z1=1，得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1). ……………………8分
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幻灯片 46【失分警示】
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幻灯片 47【防范措施】
1.建立坐标系的技巧方法
在图形中尽量寻找三条两两垂直的直线，建立坐标系，且使尽可能多的点在坐标轴上，如本例的建系方法.
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幻灯片 482.挖掘题目的隐含条件
对于题目的隐含条件要深刻挖掘、充分利用，如本例中点P坐标的设法.
3.精心计算，切实避免出错
用向量中的坐标法解决立体几何问题，运算出错常常会导致整个题目不得分，如本例中坐标的求解.
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幻灯片 49【类题试解】已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，
SA⊥平面ABCD，且SA=AB，点E为SC的中点，在线段SD上是否
存在一点F，使平面AEF⊥平面SCD？
【解析】假设在线段SD上存在一点F，使平面AEF⊥平面SCD，
如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，
设SA=AB=1，则A(0,0,0),S(0，0，1)，
C(1，1，0)，D(0，1，0)，
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幻灯片 50
设平面SCD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，
令z1=1，得y1=1，x1=0,即n1=(0,1,1).
设平面AEF的法向量为n2=(x2,y2,z2),
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幻灯片 51令z2=1，则
令n1·n2=0,
故在线段SD上存在中点F，使平面AEF⊥平面SCD.
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幻灯片 521.设直线a与b的一个方向向量分别为
若a⊥b，则x的值为( )
【解析】选D.∵a⊥b，∴a⊥b，即a·b
解得
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幻灯片 532.设直线l的一个方向向量为 平面α的法向量
为 则( )
A.l∥α B.l⊥α C.l与α斜交 D.无法判定
【解析】选B.
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幻灯片 543.若平面α⊥β,且平面α的一个法向量为 则平面
β的法向量可以是( )
B.(2，-1，0)
C.(1,2,0)
【解析】选C.
∴向量n与向量(1，2，0)相互垂直，故α⊥β.
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幻灯片 554.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
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幻灯片 56【解析】选B.如图所示，建立直角坐标系Dxyz，设AB=1，
则D(0,0,0),A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
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幻灯片 575.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P
的坐标为(x,0,z),若 则
【解析】
答案：
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幻灯片 586.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,
AC=2,A1C1=1,
证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
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幻灯片 59【证明】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B( ,0,0),C(0,2,0),
∵BD∶DC=1∶2, ∴D点坐标为
方法一:
∴BC⊥AA1,BC⊥AD.
又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
又BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
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幻灯片 60方法二:设平面A1AD的法向量是n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法
向量是n2=(x2,y2,z2),那么:
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
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