幻灯片 1第3课时 空间向量与空间角
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幻灯片 2----
幻灯片 3空间三种角的向量求法
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幻灯片 4|cos〈a,n〉|
［0，π］
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幻灯片 5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法
向量的夹角β互余.( )
(2)二面角的大小范围是 ( )
(3)二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大
小.( )
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幻灯片 6提示：(1)错误，它们之间满足sin α=｜cos β｜.
(2)错误，二面角的大小范围是［0，π］.
(3)错误，二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补.
答案：(1)× (2)× (3)×
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幻灯片 7【知识点拨】
1.对直线(或斜线)与平面所成角的四点认识
(1)斜线与平面的夹角范围是 而直线与平面的夹角范围
是
(2)设 在平面α内的射影为 且直线AB与平面α的夹角
为θ，则
(3)平面α的法向量n与 所成的锐角θ1的余角θ就是直线
AB与平面α所成的角.
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幻灯片 8(4)斜线和它在平面内的射影所成的角(即斜线与平面所成的
角)是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.
2.利用向量求空间角的注意事项
(1)求两异面直线所成的角时，要注意其范围是
(2)求线面角的大小时，要注意所求直线的方向向量与平面的
法向量夹角的余弦值的绝对值才是线面角的正弦值.
(3)求二面角的大小要特别注意需根据具体的图形来判断该二
面角是锐角还是钝角.
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幻灯片 9类型 一 求异面直线的夹角
【典型例题】
1.(2013·四平高二检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，
则异面直线A1E与GF所成的角是( )
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幻灯片 102.如图所示，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠ACB=90°，点D1，F1
分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余
弦值.
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幻灯片 11【解题探究】1.两异面直线所成的角的范围是什么？应用向量法求两异面直线所成的角时，两异面直线方向向量的夹角α与两异面直线的夹角θ有何关系？
2.在题2的三棱柱中，若建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，应如何建系才较合适？
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幻灯片 12探究提示：
1.两异面直线所成角的范围是
2.据条件可知该三棱柱为直三棱柱且∠ACB＝90°，故C1C⊥
平面ABC，即CA，CB，CC1两两垂直，故以C为原点，以CA，
CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
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幻灯片 13【解析】1.选D.如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0).
即A1E⊥GF，故A1E与GF所成的角为
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幻灯片 142.方法一：取BC中点E，连接EF1,D1F1,AE.
由题意得
∴四边形BEF1D1是平行四边形，
∴EF1∥BD1,
∠AF1E是BD1与AF1所成的角.
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幻灯片 15设BC=CA=CC1=1，
则
在△AEF1中，由余弦定理得：
∴BD1与AF1所成角的余弦值为
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幻灯片 16方法二：如图所示,以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB=CA=CC1=1，
则
则
∴BD1与AF1所成角的余弦值为
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幻灯片 17【互动探究】题2中结论若改为“求AF1与BB1所成的角的余弦值”，结果如何？
【解析】建系同题2方法二，可知B1(0，1，1)，
∴AF1与BB1所成角的余弦值为
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幻灯片 18【拓展提升】求异面直线夹角的两种方法
(1)几何法.
①方法:解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解.主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围.
②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论.
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幻灯片 19(2)向量法.
①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化
为两直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为
钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即cos θ=
|cos φ|.
②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向
量的坐标运算、数量积运算及模的运算.
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幻灯片 20【变式训练】(2013·汕头高二检测)正方体
ABCD-A′B′C′D′中，点E为A′B′的中点，F为B′B
的中点，则AE与CF所成角的余弦值为______.
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幻灯片 21【解析】如图所示，建立直角坐标系，设AB＝2，
则A(2,0,0),E(2,1,2),
C(0,2,0),F(2,2,1),
故AE与CF所成角的余弦值为
答案：
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幻灯片 22类型 二 求线面角
【典型例题】
1.(2013·济南高二检测)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底
面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，且
PA=AD=AB=2BC，M，N分别是PC，PB的中点，则BD与平面ADMN
所成的角θ为______.
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幻灯片 232.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD
所成的角.
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幻灯片 24【解题探究】1.直线的方向向量与平面的法向量的夹角θ与
所求的线面角α有何关系？
2.在题2中，若采用常规方法，即不应用向量法求解，一般需
找到直线A1B与平面A1B1CD所成的角，这个过程中的关键是什
么？
探究提示：
1.θ与α满足的关系为：sin α=|cos θ|.
2.要找到所求的线面角，关键是找到直线在平面内的射影，
其中的关键之处往往是找到过直线上一点的平面的垂线.
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幻灯片 25【解析】1.如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，N(1，0，1)，
设平面ADMN的法向量
为n=(x，y，z)，则由
取x=1，则z=-1，∴n=(1,0,-1),
答案：
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幻灯片 262.方法一：如图所示，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O.
由题意可知A1B1⊥平面 平面BCC1B1，所以
A1B1⊥BC1.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，且
B1C∩A1B1=B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，故A1O为A1B在平面
A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.
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幻灯片 27设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则：
在△A1OB中，
所以 所以∠BA1O=30°，即A1B与平面
A1B1CD所成的角是30° .
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幻灯片 28方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长
为1，则由题意可知
连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O，由题意可知BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O是A1B与平面A1B1CD所成的角.
由 可得
故 所以A1B与平面A1B1CD所成的角是30°.
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幻灯片 29方法三：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的
棱长为1，则
D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).
所以
设平面A1B1CD的一个法向量为n=(x，y，z)，A1B与平面A1B1CD
所成的角为θ，
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幻灯片 30所以 故可取n=(1，0，-1).
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
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幻灯片 31【拓展提升】
1.求线面角的两种思路
思路一：找直线在平面内的射影，
充分利用线与面垂直的性质及解
三角形知识可求得夹角(或夹角的
某一三角函数值).
如图所示，PO⊥α，则
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式
或法向量.
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幻灯片 322.利用平面法向量求线面角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则
(5)由 求θ.
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幻灯片 33【变式训练】(2013·天水高二检测)如图，平面ABDE⊥平面
ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直
角梯形， O，M，N分别为CE，
AB，EM的中点.
(1)求证：OD∥平面ABC.
(2)求证：ON⊥平面ABDE.
(3)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.
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幻灯片 34【解析】(1)取AC中点F，连接OF，BF.
∵O是EC的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴OF∥EA，且
又BD∥EA,且
∴OF∥BD且OF＝BD，
∴四边形ODBF是平行四边形，∴OD∥FB.
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幻灯片 35(2)连接CM，∵N，O是EM，EC的中点，∴ON∥CM.
∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，
平面ABDE，BD⊥AB，∴BD⊥平面ABC.
平面ABC，∴BD⊥CM，∴BD⊥ON.
又△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，M是AB的中点，
∴CM⊥AB，∴ON⊥AB，
又
∴ON⊥平面ABDE.
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幻灯片 36(3)建立如图所示的空间直角坐标系.
由条件，得
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幻灯片 37设平面ODM的法向量为n=(x,y,z),
又
取
设直线CD与平面ODM所成角为θ,则
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为
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幻灯片 38类型 三 求二面角
【典型例题】
1.(2013·龙岩高二检测)设平面ABC的一个法向量为m
=(1，1，0)，平面ABD的一个法向量为n=(1，0，-1)，
则二面角C-AB-D的大小为______.
2.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧
棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点.
(1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.
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幻灯片 39【解题探究】1.两个半平面所成二面角的大小与这两个半平面法向量夹角的大小相等吗？二者有何关系？
2.如何判定法向量夹角的大小是否为二面角的大小？
探究提示：
1.二面角的大小与法向量夹角的大小不一定相等，二者相等或互补.
2.根据具体的题目条件与图形，判定所求的二面角是锐角还是钝角，再结合法向量夹角的余弦值的正负，即可判定.
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幻灯片 40【解析】1.
∴〈m，n〉=60°，故二面角C-AB-D的大小为60°或120°.
答案：60°或120°
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幻灯片 412.连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点， 分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.
设底面边长AB=a，则高 于是
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幻灯片 42(1)
故OC⊥SD，
从而AC⊥SD.
(2)由题意可知，平面PAC的一个法向量为
平面DAC的一个法向量为
由图易知二面角P-AC-D为锐角，设为θ，则
故所求二面角的大小为30°.
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幻灯片 43【拓展提升】
1.求二面角的方法
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幻灯片 442.向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
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幻灯片 45【变式训练】1.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.
(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD.
(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值.
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幻灯片 46【解析】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设DA=a，由题意知：D(0,0,0)，B(a,a，0),C(0,2a,0),
C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a),D1(0,0,2a),E(0,a,0).
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幻灯片 47(1)
(2)取DB的中点F，DC1的中点M，连接A1F，FM,
由(1)及题意得
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幻灯片 48∴FA1⊥DB,FM⊥DB.∴∠A1FM为所求二面角的平面角.
∴二面角A1-BD-C1的余弦值为
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幻灯片 492.(2013·福州高二检测)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平
面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝
(1)证明：平面AMD⊥平面CDE.
(2)求二面角A-CD-E的余弦值.
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幻灯片 50【解析】方法一：(1)取AD的中点P，连结PE，PC，PM.由题
意可得DE=DC，PE=PC.
∵M为EC的中点，∴PM⊥EC,DM⊥EC,
又PM∩DM=M,∴EC⊥平面AMD.
∴平面AMD⊥平面CDE.
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幻灯片 51(2)设Q为CD的中点，连结PQ，EQ.由题意可得CE＝DE，
所以EQ⊥CD.因为PC＝PD.所以PQ⊥CD，
故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角.
设AB=a,由题意可得
于是在Rt△EPQ中，
所以二面角A-CD-E的余弦值为
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幻灯片 52方法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设AB＝1，依题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，
可得
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.
而 平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
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幻灯片 53(2) 设平面CDE的法向量为u=(x,y,z),
则 令x=1,
可得u=(1，1，1).
又由题设，平面ACD的一个法向量为v=(0,0,1),
所以
因为二面角A-CD-E为锐角，所以其余弦值为
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幻灯片 54 与空间角有关的翻折问题与最值问题
【典型例题】
1.正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC
边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)，
则二面角E-DF-C的余弦值为______.
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幻灯片 552.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中
点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.设锐二面角C-AF-E
的大小为θ，求tan θ的最小值.
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幻灯片 56【解析】1.以点D为坐标原点， 为x轴、y轴、z轴
的正方向建立空间直角坐标系，
则
平面CDF的一个法向量为
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幻灯片 57设平面EDF的法向量为n=(x，y，z)
则
所以
从而二面角E-DF-C的余弦值为
答案：
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幻灯片 582.建立如图所示的空间直角坐标系，
则由已知可得 设CF=λ，则F(0，4，λ)，
(0<λ≤4)，平面AEF的法向量为m=(x，y，z)，
易得
由 可得
即
取
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幻灯片 59又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为
n=(1,0,0)，于是由θ为锐角可得
所以
由0<λ≤4，得
即
故当λ=4，即点F与点C1重合时，tan θ取得最小值
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幻灯片 60【拓展提升】与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法.
(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量.
(2)最值问题：关于最值问题关键是构造与最值有关的函数或不等式，再利用函数的方法或不等式的方法求最值.
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幻灯片 61【易错误区】混淆平面法向量的夹角与二面角的关系致误
【典例】(2013·衡水高二检测)如图所示，在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为______.
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幻灯片 62【解析】连接DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直
角坐标系，设正方体的棱长为1，则 是平面ABD1的
一个法向量， 是平面BCD1的一个法向量，所以
又二面角A-BD1-C为钝角①，
所以二面角A-BD1-C的大小为120°.
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幻灯片 63【误区警示】
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幻灯片 64【防范措施】
几何图形的利用
用向量法求二面角的大小时，要注意〈n1，n2〉与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出〈n1，n2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的，还是互补的，如本例中所求二面角A-BD1-C为钝角，而向量法所求得的为锐角，故结论应为120°.
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幻灯片 65【类题试解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,
点E在AB上，且 则二面角D1-CE-D的大小为____.
【解析】以D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DD1为x,y,z
轴，建立空间直角坐标系，则
设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z)，
由于
所以
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幻灯片 66不妨令 是平面DEC的一个法
向量，且由图示知二面角D1-CE-D的平面角为锐角，令其为
θ，所以
所以所求二面角D1-CE-D的大小为
答案：
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幻灯片 671.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分
别是 那么这条斜线与平面的夹角
是( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
【解析】选D. 因此a与b的夹角是30°，
则直线与平面的夹角为30°.
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幻灯片 682.已知两个平面的一个法向量分别是m=(1，2，-1)，
n=(1，-1，0)，则这两个平面所成的二面角的平面角
的余弦值为( )
【解析】选C.
故二面角的平面角的余弦值为
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幻灯片 693.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，
则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
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幻灯片 70【解析】选C.如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AB=1，则
∴BE与CD1所成角的余弦值为
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幻灯片 714.设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在
a上，向量b1在b上，a1=(1，1，1)，b1=(-3，4，0)，则α，
β所成二面角中较小的一个的余弦值为______.
【解析】由题意，
答案：
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幻灯片 725.在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面
ABCD，且VA=AB,点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成
角的正弦值是_______.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设VA=AB=2,
则M(0,0,1),B(2,0,0),
C(2,2,0),V(0,0,2),
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幻灯片 73设平面MBC的法向量n=(x,y,z),
由
得 令x=1,可得n=(1,0,2),
设直线VC与平面MBC所成角为θ,
则
答案：
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幻灯片 746.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，
AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小.
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幻灯片 75【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则由题意可知
B(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，设
AC的中点为M，连接BM，
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幻灯片 76则BM⊥AC，又由题意知BM⊥CC1，又AC∩CC1=C，
∴BM⊥平面A1C1C，即 是平面A1C1C的一个法向量.
设平面A1B1C的法向量是n=(x，y，z).
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幻灯片 77令z=1，可得n=(0，1，1).
设法向量n与 的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，
显然θ为锐角.
∴二面角B1-A1C-C1的大小为
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