幻灯片 1第4课时 空间向量与空间距离
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幻灯片 2----
幻灯片 3空间中的距离
1.空间两点间的距离：设A，B为空间中任意两点且
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则
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幻灯片 42.空间点到平面的距离：设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外的一定点，试根据下面的提示填空：
(1)作法：AA′⊥π,垂足为A′.
(2)图示：
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幻灯片 5(3)结论：
①点A到平面π的距离d等于线段______的长度；
②向量 在n上的投影的大小 等于线段_____的长度(n0是n方向上的单位向量)；
③向量公式：d=_________.
AA′
AA′
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幻灯片 6判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离.( )
(2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离.( )
(3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.( )
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幻灯片 7提示：(1)正确.由距离的定义可知.
(2)正确.当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等.
(3)错误.异面直线间的距离可以构造线面平行转化为点到平面的距离.
答案：(1)√ (2)√ (3)×
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幻灯片 8【知识点拨】
1.对空间距离公式的说明
运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应
距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模.
公式 (向量 在向量n方向上的射影的长).
该公式为点到面的距离公式或异面直线间的距离公式，其中n
为法向量，如下图:
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幻灯片 92.对空间中的两种距离的认识
(1)面面距.与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段.
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离.
(2)空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距.
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幻灯片 10类型 一 求空间两点间的距离
【典型例题】
1.已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为
2，则AD的长为( )
A.4 B.2 C.3
2.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4，
AD=3，沿对角线AC折叠，使平面ABC
与平面ADC垂直，求线段BD的长.
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幻灯片 11【解题探究】1.题目中求线段的长度能否转化为两点间的距离，从而应用两点间的距离公式？
2.若采用向量法求解，有哪些方法？
探究提示：
1.可根据题目条件建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，应用两点间的距离公式求解.
2.若采用向量法求解，可利用坐标法，转化为两点间距离，也可利用向量的线性运算及数量积运算求解.
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幻灯片 12【解析】1.选D.方法一：建立如图所示的坐标系，据题意
知，A(2，0，0)，D(0，2，2)，
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幻灯片 13方法二：
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幻灯片 14方法三：如图所示，把AB，BC，CD看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：
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幻灯片 152.方法一：过点D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F.
则由已知条件可知AC=5，
由已知得
∵平面ADC⊥平面ABC，DE⊥AC，∴DE⊥BF，
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幻灯片 16方法二：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，过点E
作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线分别
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意知
故点B，D间的距离为
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幻灯片 17【拓展提升】求空间两点间距离的方法
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幻灯片 18类型 二 点到直线距离的求法
【典型例题】
1.三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是
SA的中点，则点D到BC的距离为____________.
2.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体
ABCD-A′B′C′D′，AB=1，BC=2，
AA′=3，求点B到直线A′C的距离.
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幻灯片 19【解题探究】1.题1中若建立空间直角坐标系，如何建系较简单？
2.求点到直线的距离的关键是什么？
探究提示：
1.以A为坐标原点，以AB，AC，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建系较简单.
2.求点到直线的距离的关键是找准垂直关系，求出相关点或向量的坐标.
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幻灯片 20【解析】1.如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则
D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
∴ 在 上的投影长为
故D到BC的距离为
答案：
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幻灯片 212.因为AB=1，BC=2，AA′=3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，
0)，B(1，0，0)，所以直线A′C的方向向量
所以 在 上的投影为
所以点B到直线A′C的距离
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幻灯片 22【拓展提升】点到直线距离的求法
如图，PB⊥l，垂足为B，则PB的长度即为P到l的距离，在不
易确定垂足B的情况下，可在l上另取一点A，则AB为 在 上
的投影，故
在Rt△PAB中有 即P到l的距离d=
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幻灯片 23因此求点P到直线l的距离可分以下几步完成:
(1)在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量n，并求
(2)计算直线上点A与已知点P对应的向量
(3)计算 在n0上的投影
(4)由公式 求距离.
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幻灯片 24类型 三 求点到平面的距离
【典型例题】
1.已知向量n=(2,0,1)为平面α的一个法向量，点A(-1,2,1)
在α内，则P(1,2,-2)到α的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AF=1，M是线段EF的中点，N为AC与BD的交点，求点B到平面
CMN的距离.
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幻灯片 25【解题探究】1.用向量法求点到平面的距离，要求哪些关键的量？
2.由已知点与平面上的某点所构成的向量在平面法向量上的投影是该点到平面的距离吗？
探究提示：
1.用向量法求点到平面的距离的过程中，要求出平面的法向量，以及由平面上的某点与已知点构成的向量.
2.不是.由已知点与平面上的某点构成一个向量，此向量在法向量上的投影的绝对值才是该点到平面的距离.
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幻灯片 26【解析】1.选A.
又平面α的一个法向量为n=(2,0,1),
∴P到α的距离为
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幻灯片 272.建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意知C(0，0，0)，
设n=(x，y，z)为平面CMN的法向量，
则
取x=1，得n=(1，-1，0).
又 故点B到平面CMN的距离
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幻灯片 28【拓展提升】点到平面的距离的三种求法
(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离.
(2)等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高，利用三棱锥转化底面求体积，从而求得点到平面的距离.
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幻灯片 29(3)向量法：这是我们常用的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离.
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幻灯片 30【变式训练】如图所示，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F分别为BB1，C1C的中点， 过E，F，G的平面交
AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离.
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幻灯片 31【解题指南】求直线到平面的距离可转化为求直线上一点到平面的距离，但本题向平面作垂线不易确定垂足，可考虑用向量的方法进行解题.
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幻灯片 32【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所
在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题意可
知
设平面EFGH的法向量
n=(x，y，z)，则
即
令z=6，可得n=(0，-1，6).又
∴A1D1到平面EFGH的距离为
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幻灯片 33【规范解答】向量法求距离问题
【条件分析】
【典例】
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幻灯片 34【规范解答】在平面ABCD内作AP⊥CD交CD于点P.如图，分别
以AB，AP，AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(1,0,0),
O(0,0,2).…………………………………………4分
…………………………………………6分
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),则
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幻灯片 35
取z= ,得n=(0,4, )②. ………………………………9分
设点B到平面OCD的距离为d，
∴点B到平面OCD的距离为 ……………………………12分
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幻灯片 36【失分警示】
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幻灯片 37【防范措施】
1.提高运算能力
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运
算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键，
如本例计算 n的坐标.
2.转化思想的应用
在求空间的各种距离时，要有转化的意识，求解的过程往往
就是转化的过程，如本例中利用向量法求点面距等均体现了
转化的思想.
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幻灯片 38【类题试解】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC.
(2)求点C1到平面A1AB的距离.
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幻灯片 39【解析】(1)如图，取AB的中点E，连接DE，则DE∥BC，因为
BC⊥AC，所以DE⊥AC，且A1D⊥平面ABC，
以射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角
坐标系，则A(0，-1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，
设
其中t>0,则
∴AC1⊥CB，又∵BA1⊥AC1，∴AC1⊥平面A1BC.
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幻灯片 40(2)由(1)知AC1⊥平面A1BC，
设平面A1AB的法向量为
所以 设z=1，则 所以点C1
到平面A1AB的距离
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幻灯片 411.已知 则点A与G之间的
距离为( )
【解析】选A.
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幻灯片 422.已知A(1，0，0)，B(1，-2，3)，C(-1，2，1)，则点A到直
线BC的距离为( )
【解析】选B.据条件知
在向量 方向上的投影为
∴点A到直线BC的距离为
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幻灯片 433.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱AB,BC
的中点，则点C1到平面B1EF的距离是( )
【解析】选D.设所求距离为h.
因为
在△B1EF中,
EF边上的高为
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幻灯片 44而E到平面B1C1F的距离EB=1.
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幻灯片 454.已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线
BC1的距离为______.
【解析】建系如图，则B(2，0，0)，
A1(0，0，2)，C1(0，2，2)
上的投影为
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幻灯片 46∴点A1到直线 的距离为
答案：
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幻灯片 475.空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A(0，1，3)，
B(2，0，2)，C(1，-1，2)，D(-1，3，1)，E，F分别
是AB与CD的中点，则EF的长为______.
【解析】易知
故
答案：
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幻灯片 486.在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为 侧棱
长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求D′到平面B′EF的
距离.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
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幻灯片 49设平面B′EF的法向量为n=(x，y，z)，
则
令y=1，则
又
所以点D′到平面B′EF的距离为
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