幻灯片 1第七节 正弦定理和余弦定理
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幻灯片 2三年16考 高考指数:★★★
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.会利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的几何计算问题.
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幻灯片 31.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.
2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.
3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.
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幻灯片 41.正弦定理
①已知两角和任一边，求其他两边和另一角.
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
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幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：在△ABC中，sinA>sinB是A>B的什么条件？
提示:充要条件.
因为
(2)在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝______.
【解析】A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝
答案：
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幻灯片 62.余弦定理
①已知三边,求各角.
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
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幻灯片 7【即时应用】
(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为______.
(2)在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为______.
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幻灯片 8【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为
2a，故顶角的余弦值为
(2)由已知得b2＋c2－a2＝－bc，
又
答案：
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幻灯片 93.三角形中常用的面积公式
(1)S= ah(h表示边a上的高);
(2)S= bcsinA=__________=__________；
(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
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幻灯片 10【即时应用】
(1)在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为______.
(2)在△ABC中， 则S△ABC＝_____.
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幻灯片 11【解析】
(2)在△ABC中，
答案：
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幻灯片 12 利用正、余弦定理解三角形
【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论
(1)A+B+C=π；
(2)0＜A，B，C＜π，
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC，
tan(A+B)=-tanC.
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幻灯片 13(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
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幻灯片 14【例1】根据下列条件解三角形.
(1)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又
b＝4，且BC边上的高 则角C=______.
(2)在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C,b=4,a+c=8，则
a=______,c=______.
(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方
程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是______.
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幻灯片 15【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.
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幻灯片 16【规范解答】(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D
点， 则C＝60°.
(2)由正弦定理
又A=2C,所以
即
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幻灯片 17由已知a+c=8=2b及余弦定理，得
整理得(2a-3c)(a-c)=0,
∵a≠c,∴2a=3c,∵a+c=8,
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幻灯片 18(3)解方程可得该夹角的余弦值为 由余弦定理得：
∴第三边长是
答案：
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幻灯片 19【互动探究】本例中的(1)条件不变，若求a,则a=______.
【解析】由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，
则
即a2－4a－5＝0,所以a＝5或a＝－1(舍去)．
因此a边的长为5.
答案：5
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幻灯片 20【反思·感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.
2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.
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幻灯片 21ab
a≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
A
a
b
C
B
C
A
a
b
B1
B2
A
C
a
a
b
C
A
a
b
B
B
C
A
B
A
a
a
b
b
C
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幻灯片 22【变式备选】在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求其最大内角和
sinC.
【解析】由已知得，a>c>b，所以内角A最大，
由余弦定理得，
而
所以
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幻灯片 23 利用正、余弦定理判断三角形形状
【方法点睛】
1.三角形形状的判断思路
判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断．
(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；
(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.
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幻灯片 242.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A、B、C 的范围对三角函数值的影响.
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幻灯片 25【例2】在△ABC中， 判断△ABC的形状.
【解题指南】此题关键是利用正弦定理转化成边或角，做出判断即可.
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幻灯片 26【规范解答】方法一：
∴asinA＝bsinB.
由正弦定理可得：
∴a2=b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
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幻灯片 27方法二：
∴asinA＝bsinB.
由正弦定理可得：
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形.
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幻灯片 28【反思·感悟】三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；
(2)通过余弦定理实施边角转换；
(3)通过三角变换找出角之间的关系；
(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论.
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幻灯片 29【变式训练】在△ABC中：
(1)已知a-b=ccosB－ccosA，判断△ABC的形状.
(2)若b=asinC,c=acosB,判断△ABC的形状.
【解析】(1)由已知结合余弦定理可得
整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
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幻灯片 30(2)由b=asinC可知
由c=acosB可知
整理得b2+c2=a2，即三角形一定是直角三角形，A=90°,
∴sinC=sinB，∴B=C，
∴△ABC为等腰直角三角形.
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幻灯片 31 与三角形面积有关的问题
【方法点睛】三角形的面积公式
(1)已知一边和这边上的高:
(2)已知两边及其夹角：
(3)已知三边：
其中
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幻灯片 32(4)已知两角及两角的共同边：
(5)已知三边和外接圆半径R，则
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幻灯片 33【例3】(1)(2012·铜陵模拟)在△ABC中,已知
则△ABC的面积为______.
(2)(2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c.已知
①求 的值；
②若 求△ABC的面积S.
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幻灯片 34【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C，再求出角A，由
求面积.
(2)①可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式求解;也可先转化式子,然后利用余弦定理推出边的关系,再利用正弦定理求解.②应用余弦定理及(2)①的结论求得a和c的值，然后利用面积公式求解.
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幻灯片 35【规范解答】(1)由 得
所以C=60°,A=90°或C=120°,A=30°；
或
答案： 或
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幻灯片 36(2)①方法一:在△ABC中，由
及正弦定理可得
即cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，
则cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB，
sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，
则sinC=2sinA，即
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幻灯片 37方法二：在△ABC中，由 可得
bcosA-2bcosC=2ccosB-acosB
由余弦定理可得
整理可得c=2a，由正弦定理可得
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幻灯片 38②由c=2a及 可得
4=c2+a2-2accosB=4a2+a2-a2=4a2,
则a=1，c=2，
即
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幻灯片 39【反思·感悟】1.运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式.
2.明确所需要求的边、角，(1)若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解；(2)若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程求解.
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幻灯片 40【变式训练】在△ABC中，BC=a, AC=b,a,b是方程
的两个根，且2cos(A+B)=1,
求:(1)角C的度数;
(2)AB的长度;
(3)△ABC的面积.
【解析】(1)cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)
∴C=120°.
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幻灯片 41(2)由题设：
∴c2=a2+b2-2abcos120°
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=
即
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幻灯片 42【变式备选】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，
(1)求sinC的值;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，
且
所以
于是
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幻灯片 43(2)由(1)知
又因为
所以在△ABC中，由正弦定理得
于是△ABC的面积
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幻灯片 44【满分指导】解三角形问题的规范解答
【典例】(12分)(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所
对的边分别为a、b、c，
(1)求 ;(2)若 求B.
【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.
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幻灯片 45【规范解答】(1)由正弦定理得，
sin2AsinB+sinBcos2A=
即sinB(sin2A+cos2A)= ………………………………3分
故sinB=
所以 ……………………………………………………6分
(2)由余弦定理及 得
由(1)知b2=2a2，故 ……………………………10分
可得 又cosB>0，
故 所以B=45°.……………………………………12分
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幻灯片 46【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：
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幻灯片 47----
幻灯片 481.(2011· 浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=( )
【解析】选D.由acosA=bsinB可得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.
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幻灯片 492.(2011·安徽高考)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为______.
【解析】设三角形中间边长为x，则另两边的长为x-4，
x+4，那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°，
解得x=10，所以S△ABC= ×10×6×sin120°=
答案：
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幻灯片 503.(2011·福建高考)如图，△ABC中，AB=AC=2， 点D
在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______.
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幻灯片 51【解析】在△ABC中，由余弦定理易得
∴C=30°,∴B=30°.在△ABD中，
由正弦定理得：
答案：
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幻灯片 524.(2011·新课标全国卷)在△ABC中，B=60°，AC= ,则
AB+2BC的最大值为_________.
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幻灯片 53【解析】令AB=c，BC=a，则由正弦定理得
∴c=2sinC,a=2sinA,且A+C=120°，
∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=2sinC+
∴当C+φ=90°时，AB+2BC取最大值为 .
答案：
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幻灯片 545.(2011·北京高考)在△ABC中，若b=5，B= ，tanA=2，则
sinA=_________；a=_________．
【解析】∵tanA=2，∴
∴sin2A+( )2=1，
又∵A∈(0，π)，∴
由正弦定理，得
所以a= .
答案：
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幻灯片 55----
幻灯片 56----
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