幻灯片 1第一节 平面向量的概念及线性运算
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幻灯片 2 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！
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幻灯片 3三年3考 高考指数:★★
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
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幻灯片 41.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点，也是热点，难度中等偏下.
2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主.
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幻灯片 51.向量的有关概念
(1)定义：既有_____又有_____的量统称为向量.
(2)表示方法：用_________来表示向量.有向线段的长度表示
向量的_____，用箭头所指的方向表示向量的_____.用a,b或用
来表示.
(3)模：向量的_____叫作向量的模，记作|a|,|b|或
大小
方向
有向线段
大小
方向
长度
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幻灯片 6【即时应用】
(1)请写出高中物理中的三个向量______.
(2)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”)
①向量的大小是实数 ( )
②向量可以用有向线段表示 ( )
③向量就是有向线段 ( )
④向量 的长度和向量 的长度相等 ( )
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幻灯片 7【解析】(1)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度
等都为向量.
(2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故①
为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的
大小，有向线段的方向为向量的方向，所以②为真；③为假；
与 是大小相等、方向相反的向量，故④为真.
答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一)
(2)①真 ②真 ③假 ④真
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幻灯片 82.特殊向量
(1)零向量：长度为__的向量叫作零向量，记作0；零向量的方
向_______.
(2)单位向量：长度为______的向量叫作单位向量.
(3)共线向量：如果表示两个向量的有向线段所在的直线
___________，则称这两个向量平行或共线.规定：零向量与任
一向量平行.
(4)相等向量：长度_____且方向_____的向量叫作相等向量.
(5)相反向量：长度_____且方向_____的向量叫作相反向量.
0
不确定
单位1
平行或重合
相等
相同
相等
相反
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幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”)
①若a与b平行，则b与a方向相同或相反 ( )
②若a与b平行同向，且|a|>|b|,则a>b ( )
③|a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( )
(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是______.
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幻灯片 10【解析】(1)①假，当a为零向量时，方向是不确定的.
②假，向量不能比较大小.
③真，向量a与b的模相等，即长度相等，与方向无关.
(2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆.
答案：(1)①假 ②假 ③真 (2)圆
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幻灯片 113.向量的加法与减法
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幻灯片 12【即时应用】
(1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
① ( )
② ( )
③ ( )
(2)若菱形ABCD的边长为2，则
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幻灯片 13【解析】(1)①不正确.因为
②正确.因为
③正确.因为
答案：(1)①× ②√ ③√
(2)2
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幻灯片 144.向量的数乘与向量共线的判定定理和性质定理
(1)向量的数乘
①长度：|λa|=________.
②方向
当λ>0时，λa的方向与a的方向_____；
当λ<0时，λa的方向与a的方向_____，
当λ=0时，λa=__,其方向是任意的.
|λ||a|
相同
相反
0
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幻灯片 15(2)向量数乘的运算律
设λ,μ为实数，则①λ(μa)=_______;
②(λ+μ)a=________；③λ(a+b)=________.
(3)向量共线的判定定理和性质定理
①向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得______，则向量b
与非零向量a共线，
即______(a≠0，λ∈R)⇒a∥b.
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
b=λa
b=λa
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幻灯片 16②向量共线的性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得______,即a∥b(a≠0)⇒_____________.
b=λa
b=λa(λ∈R)
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幻灯片 17【即时应用】
(1)思考：在向量共线的性质定理中，当a=0时，λ还唯一吗？
提示：当a=0且b=0时，λ可以为任意实数，不唯一，当a=0且b≠0时，λ不存在.
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幻灯片 18(2)填空.
①8(a+c)+7(a-c)-c=______.
③设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1+e2)∥(e1+ke2)，则实数k的值为______.
④点C在线段AB上，且 则
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幻灯片 19【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c
=(8+7)a+(8-7-1)c=15a.
②原式=
③由题意知，
k(e1+e2)=λ(e1+ke2)⇒(k-λ)e1=(λk-k)e2，
又∵e1与e2不共线，
∴k=0或1.
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幻灯片 20答案：
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幻灯片 22 平面向量的有关概念
【方法点睛】
1.平面向量中概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.
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幻灯片 232.几个重要结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
(3)平行向量与起点无关.
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幻灯片 24【例1】已知下列命题：
①单位向量都相等
②若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
③两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同
④由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行
⑤如果a=b,b=c,则a=c
⑥如果|a|=|b|，则a与b的方向相同.
其中不正确的命题是______(请把不正确的命题的序号都填上).
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幻灯片 25【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.
【规范解答】各单位向量的模都相等，但方向不一定相同，故①不正确；当b=0时，a与c可以为任意向量，故②不正确；两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故③不正确；规定0与任意向量平行，故④不正确；如果a、b、c都为零向量，则a=c,如果a、b、c为非零向量，则它们的长度都相等、方向相同，所以a=c,故⑤正确；⑥不正确.
答案：①②③④⑥
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幻灯片 26【反思·感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生活中的模型进行类比和联想来记忆.
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幻灯片 27【变式训练】给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
③λa=0(λ为实数),则λ必为零.
④λ,μ为实数,若λa=μb，则a与b共线.
其中错误命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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幻灯片 28【解析】选C.①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
④错误.当λ=μ=0时, λa=μb,此时a与b可以是任意向量.
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幻灯片 29 平面向量的线性运算
【方法点睛】
1.平面向量的线性运算的方法
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.
2.两个重要结论
(1)向量的中线公式：若P为线段AB中点，则
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幻灯片 30(2)向量加法的多边形法则
【提醒】当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用.向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了.
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幻灯片 31【例2】(1)在△ABC中，若D是AB边上一点，且
则λ=( )
(2)(2012·北京模拟)在△ABC中,若O是△ABC所在平面内一
点，D为BC边中点，且 那么( )
(3)若 则
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幻灯片 32【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点，把 用 表示；(2)由D为BC边中点可得 即可求解；(3)由
可得△ABC为正三角形， 是该
正三角形高的2倍.
【规范解答】(1)选A.
所以 故选A.
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幻灯片 33(2)选A.因为D为BC边中点，
又
即 故选A.
∴△ABC是边长为2的正三角形， 为三角形高的2倍，
所以
答案：
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幻灯片 34【互动探究】若(1)中的条件作如下改变：
若点D是AB边延长线上一点且 若
则λ-μ的值为______.
【解析】由题意知，B为AD中点，又
又
∴λ=2,μ=-1,∴λ-μ=3.
答案：3
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幻灯片 35【反思·感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题的基础，除了利用向量的线性运算法则外，还应充分利用平面几何的一些定理，如三角形的中位线定理、相似三角形的对应边成比例等.
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幻灯片 36【变式备选】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC
的中点，G为BF、DE的交点，若 试用a,b来表示
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幻灯片 37【解析】
连接BD，因为G是△CBD的重心，所以
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幻灯片 38 向量共线判定定理和性质定理的应用
【方法点睛】
1.向量共线判定定理和性质定理的应用
(1)可以利用向量共线判定定理证明向量共线，也可以由向量共线性质定理求参数的值.
(2)若a,b不共线，则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法
若 则A、B、C三点共线.
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幻灯片 39【例3】已知a,b不共线，
设t∈R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C，D，E
三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请
说明理由.
【解题指南】先假设存在，再用a,b表示目标向量，最后判断
是否有 成立即可.
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幻灯片 40【规范解答】由题设知，
C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得
(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线，所以有
解之得
故存在实数 使C，D，E三点在一条直线上.
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幻灯片 41【反思·感悟】1.注意待定系数法在解决此类问题中的应用.其中的k只是桥梁，可设而不求.
2.本例中应用待定系数法求t的值时，不可忽视a,b不共线的条件.
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幻灯片 42【变式训练】设e1与e2是两个不共线的非零向量，若向量
=3e1-2e2, =-2e1+4e2, =-2e1-4e2,试证明：A、C、D三点
共线.
【证明】
又
∴ =2 ，∴ 与 共线，∴A、C、D三点共线.
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幻灯片 43【变式备选】设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，
t∈R，t为何值时，a，tb， (a＋b)三向量的终点在一条直线
上？
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幻灯片 44【解析】设
化简整理得：
∵a与b不共线，
故 时，a,tb, (a+b)三向量的终点在一条直线上．
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幻灯片 45 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。
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幻灯片 46【创新探究】以向量为背景的新定义问题
【典例】(2011·山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标
系中两两不同的四点，若
且 则称A3,A4调和分割点A1,A2，已知平面上的点C，D
调和分割点A，B则下面说法正确的是( )
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幻灯片 47(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上
(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【解题指南】本题为信息题，由
知：A1,A2,A3,A4四点共线，且不重合.因为C，D调
和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，设
则 然后逐项代入验证.
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幻灯片 48【规范解答】选D.由
知：四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上，且不重合.
因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线
上，设 则 选项A中 此时d不
存在，故选项A不正确；同理选项B也不正确；选项C中，
也不正确，故选D.
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幻灯片 49【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：
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幻灯片 50----
幻灯片 511.(2012·滁州模拟)△ABC中， 则 等于( )
(A)a+b (B)-(a+b)
(C)a-b (D)b-a
【解析】选D.
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幻灯片 522.(2012·宿州模拟)设P是△ABC所在平面内的一点，
则( )
【解析】选C.
∴P为△ABC中AC边的中点，
即
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幻灯片 533.(2012·赣州模拟)已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足
且 那么实数m的值为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】选B.
又 ∴-2+m=1,即m=3.
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幻灯片 544.(2012·宿州模拟)设 且A、B、C三
点共线(该直线不过点O)，则x+y=( )
(A)-1 (B)1 (C)0 (D)2
【解析】选B.如图，设
则
∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.
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幻灯片 555.(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，
( )
(A)0 (B) (C) (D)
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幻灯片 56【解析】选D.
故选D.
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幻灯片 576.(2011·北京高考改编)已知向量a、b不共线，若a-2b与
3a+kb共线，则实数k=______.
【解析】因为a-2b与3a+kb共线，所以存在实数λ使得a-2b
=λ(3a+kb),整理得(3λ-1)a+(kλ+2)b=0,又因为向量a、b
不共线，所以
答案：-6
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幻灯片 58----
幻灯片 59----
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