幻灯片 1第三节 平面向量的数量积
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幻灯片 2三年27考 高考指数: ★★★★★
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.
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幻灯片 31.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难点；
2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.
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幻灯片 41.两个向量的夹角
(1)夹角的定义
定 义
范 围
已知两个_______向量 作
∠AOB=θ叫作
向量 的夹角（如图）.
向量夹角θ的范围是______________,
当θ=__________时，两向量共线；
当θ=____时，两向量垂直，记作
（规定零向量可与任一向量
垂直）.
0°或180°
90°
0°≤θ≤180°
非零
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幻灯片 5(2)射影的定义
设θ是a与b的夹角，则_________叫作b在a方向上的射影.
_________叫作a在b方向上的射影.
射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当
____________时，它是正值;当______________时，它是负值;
当________时，它是0.
|b|cosθ
|a|cosθ
0°≤θ<90°
90°<θ≤180°
θ=90°
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幻灯片 6【即时应用】
(1)思考：在△ABC中，向量 与 的夹角为∠ABC，是否正
确？
提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量
与 的夹角为π-∠ABC.
(2)若|a|=5，向量a与b的夹角θ=60°，则向量a在b方向上的
射影为______.
【解析】a在b方向上的射影为|a|cosθ=5cos60°=
答案：
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幻灯片 72.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义
已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把____________叫作a与b
的数量积(或内积)，记作_______.
(2)数量积的几何意义
a与b的数量积等于____________________________________的
乘积，或____________________________________的乘积.
|a||b|cosθ
a·b
a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ
b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ
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幻灯片 8【即时应用】
(1)已知正三角形ABC的边长为1，则
(2)已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，则向量a，b的夹角θ=______.
【解析】
又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案：
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幻灯片 93.平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.
x1x2+y1y2=0
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幻灯片 10【即时应用】
(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角一定为钝角？
提示：不一定，也可能是平角.
(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假.(请在括号
内填“真”或“假”)
①|a|+|b|= ( )
②若θ为向量a、b的夹角，则cosθ= ( )
③若a⊥(a+λb),则λ=1 ( )
④(a+b)·(4a+b)=18 ( )
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幻灯片 11【解析】 故①真.
②真.
③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，
∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，
∴λ=1,③真.
④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，
∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.
答案：①真 ②真 ③真 ④真
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幻灯片 124.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b=b·a;
(2)数乘结合律：(λa)·b=_________=_________;
(3)分配律：a·(b+c)=__________.
λ(a·b)
a·(λb)
a·b+a·c
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幻灯片 13【即时应用】
(1)思考：(a·b)c与a(b·c)相等吗？
提示：不一定相等，∵a·b,b·c均为实数，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等.
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幻灯片 14(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为__________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，
∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,
又∵|a|=|b|≠0，0°≤θ≤180°，
∴cosθ= ∴θ=120°.
答案：120°
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幻灯片 15 平面向量数量积的运算
【方法点睛】
1.平面向量的数量积问题类型及求法
(1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式a·b=|a||b|cosθ求解；
(2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.
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幻灯片 162.利用数量积求解长度问题的方法
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幻灯片 17【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足|a|=|b|=1,
a·b= 则|a+2b|=( )
(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设
则
(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a⊥
(2a-b),则(a+b)·(a-b)=______.
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幻灯片 18【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a+2b)求解；(2)用基
向量 表示向量 (3)借助a·(2a-b)=0求k，进而
求(a+b)·(a-b).
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幻灯片 19【规范解答】(1)选B.∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12+4×( )+
4×12=3，
∴|a+2b|=
(2)由题意画出图形如图所示，取基底 结合图形可得
答案：
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幻灯片 20(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，
由a⊥(2a-b)得a·(2a-b)=10+(2-k)=0,
∴k=12,∴b=(-1,12),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2
=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.
答案：-140
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幻灯片 21【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC
的中点”，又该如何求
【解析】∵D、E分别为BC、AC的中点，
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幻灯片 22【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.
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幻灯片 23【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若
则 =______.
【解析】
答案：8
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幻灯片 24 平面向量的垂直问题
【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用
(1)若a,b为非零向量，则a⊥b⇔a·b=0；若非零向量a=(x1,y1),
b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.
【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.
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幻灯片 25【例2】已知 若△AOB是以O为
直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用
列出方程组，求出b.
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幻灯片 26【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则 =a-b
由题意可知, 从而有：
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幻灯片 27方法二：设向量b=(x,y)，依题意，
则(a-b)·(a+b)=0，
|a-b|=|a+b|，
所以|a|=|b|=1,a·b=0.
所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，
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幻灯片 28【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.
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幻灯片 29【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、
B(2,3)、C(－2,－1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足 求t的值.
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幻灯片 30【解析】(1)由题设知 =(3,5),
=(-1,1),
则 + =(2,6), - =(4,4)，
所以
故所求的两条对角线的长分别为
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幻灯片 31(2)由题设知： =(－2,－1)，
-t =(3+2t,5+t).
由( -t )⊥ 得( -t )· =0，
即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,所以
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幻灯片 32 利用数量积解决夹角问题
【方法点睛】利用数量积求向量夹角的方法
(1)利用向量数量积的定义 其中两向量夹角的范
围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b,|a|,|b|或
者找出这三个量之间的关系.
(2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
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幻灯片 33【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°<θ≤180°)，即a·b>0(<0)是θ为锐角(钝角)的必要而不充分条件.
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幻灯片 34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则
2a+b与a-b的夹角等于( )
(2)(2011·浙江高考)若平面向量 满足| |=1,| |≤1，
且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 与 的夹
角θ的取值范围是______.
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幻灯片 35【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.
(2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹角θ的范围.
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幻灯片 36【规范解答】(1)选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，
∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,
|2a+b|= |a-b|=3,设夹角为θ,
(2)由S=| |·| |sinθ=| |sinθ= 可得，
答案：
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幻灯片 37【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k≠-1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？
【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)，
∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角，∴(2a+b)·(a-b)>0，
即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或
当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)×0=0,
∴k=-1,又k≠-1,∴2a+b与a-b不共线，
故k的取值范围为：k<-1或
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幻灯片 38【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］.
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幻灯片 39【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O为
坐标原点，
(1) 求sin2θ的值.
(2)若 且θ∈(-π,0),求 与 的夹角.
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幻灯片 40【解析】(1) =(cosθ,sinθ)-(2，0)=(cosθ-2,sinθ),
=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，
· =cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)
=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=
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幻灯片 41(2)∵ =(2,0), =(cosθ,sinθ)，
∴ + =(2+cosθ,sinθ)，
∴| + |=
即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,
∴4cosθ=2即
∵-π<θ<0,
又
设α为 与 的夹角，
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幻灯片 42【满分指导】平面向量主观题的规范解答
【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.
【解题指南】利用向量数量积证明，由
把 展开利用 代入，即可证
明.
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幻灯片 43【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在
△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. ……………4分
证明：如图，
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幻灯片 44 ……………………………8分
=b2-2bccosA+c2，
即a2=b2+c2-2bccosA， ………………………………………10分
同理可证b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.……………………………………………12分
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幻灯片 45【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：
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幻灯片 46----
幻灯片 471.(2011·重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线，那么a·b的值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以a·b=1×2+1×2=4.
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幻灯片 482.(2011·辽宁高考)若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,
(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )
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幻灯片 49【解析】选B.由(a-c)·(b-c)≤0,
得a·b-a·c-b·c+c2≤0,
又a·b=0且a,b,c均为单位向量，得
-a·c-b·c≤-1,
|a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(a·b-a·c-b·c)
=3+2(-a·c-b·c)≤3-2=1,
故|a+b-c|的最大值为1.
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幻灯片 503.(2011·安徽高考)已知向量a、b满足(a+2b)·(a-b)=-6，
且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为______.
【解析】设a与b的夹角为θ,(a+2b)·(a-b)＝-6，即
12+a·b-2×22=-6，则a·b=1，所以
所以θ=60°.
答案：60°
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幻灯片 514.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB=3,
BD=1，则
【解析】
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幻灯片 52答案：
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幻灯片 535.(2012·杭州模拟)已知向量|a|=3,b=(1,2)且a⊥b，则a的坐标是______.
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幻灯片 54【解析】设向量a=(x,y)，
∴a的坐标是 或
答案： 或
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幻灯片 55----
幻灯片 56----
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