幻灯片 1第五节 合情推理与演绎推理
----
幻灯片 2三年20考 高考指数:★★★★
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
----
幻灯片 31.归纳推理与数列相结合问题是考查重点；
2.类比推理、演绎推理是重点，也是难点；
3.以选择题、填空题的形式考查合情推理；以选择题或解答题的形式考查演绎推理，题目难度不大，多以中低档题为主.
----
幻灯片 41.推理
(1)定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的
判断的_________.
(2)分类：推理一般分为__________与__________两类.
思维过程
合情推理
演绎推理
----
幻灯片 5【即时应用】
(1)思考：一个推理是由几部分构成的？
提示：从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.
(2)数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于_______.
【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32.
答案：32
----
幻灯片 6(3)已知数列1, , , ，…, ，…，则3 是第
________项.
【解析】由题可知该数列的第n项an= ,由 =3 ，
得2n-1=45，∴n=23.
答案：23
----
幻灯片 72.合情推理
归 纳 推 理
类 比 推 理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的____________
__________的推理，或者由个别事实概括出_________________
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的______________，推出另一类对象也具有___________________
定义
全部对象都具有
这些特征
一般结论的推理
某些已知特征
这些特征的推理
----
幻灯片 8归 纳 推 理
类 比 推 理
由______到______、由______到______的推理
由______到______的推理
一般
步骤
特点
(1)找出两类事物之间的
_________或_________；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)
(1)通过观察______情况发现某些__________；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的________
_______(猜想)
特殊
特殊
部分
整体
个别
一般
个别
相同性质
一般性
命题
相似性
一致性
----
幻灯片 9【即时应用】
(1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
①(ab)n=anbn与(a+b)n类比，则有(a+b)n=an+bn; ( )
②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)
=sinαsinβ; ( )
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
( )
----
幻灯片 10(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积的比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为________.
----
幻灯片 11【解析】(1)①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;
②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ;
③对.(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a2+2a·b+b2满足向量数量积的运算.
(2)两个正四面体的棱长的比为1∶2，则其高之比为1∶2，底面积之比为1∶4，故其体积的比为1∶8.
答案：(1)①× ②× ③√ (2)1∶8
----
幻灯片 123.演绎推理
(1)定义：从_____________出发，推出_____________下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理.
(2)特点：演绎推理是由_____到_____的推理.
一般性的原理
某个特殊情况
一般
特殊
----
幻灯片 13【即时应用】
(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，判断下列说法的真假.(填“真”或“假”)
①使用了归纳推理 ( )
②使用了类比推理 ( )
③使用了演绎推理 ( )
----
幻灯片 14(2)判断下列推理过程是否是演绎推理.(请在括号中填“是”或“否”)
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180° ( )
②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班级人数超过50人 ( )
③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 ( )
④在数列{an}中，a1=1,an= (an-1+ )(n≥2,n∈N+)，由此归纳出{an}的通项公式 ( )
----
幻灯片 15【解析】(1)①假：不满足归纳推理的定义；
②假：不满足类比推理的定义；
③真：满足演绎推理的定义.
(2)①是，满足演绎推理定义.
②不是，使用了归纳推理不是演绎推理.
③不是，使用了类比推理.
④不是,使用了归纳推理.
答案：(1)①假 ②假 ③真 (2)①是 ②否 ③否 ④否
----
幻灯片 16 归纳推理
【方法点睛】归纳推理的特点
(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.
(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确性往往通过演绎推理来证明.
(3)它是一种发现一般性规律的重要方法.
----
幻灯片 17【例1】(1)已知：f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)=
fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N+),则f3(x)的表达式为_______，猜想
fn(x)(n∈N+)的表达式为______.
(2)观察式子： 你可以猜出的一个一般性结论是
__________.
(3)设f(x)= ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
----
幻灯片 18【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及fn(x).
(2)由三个等式可推第四，第五个等式，从而得第n个等式即一般结论.
(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),
f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).
----
幻灯片 19【规范解答】(1)由f1(x)=f(x)= 得
f2(x)=f1(f1(x))=f1( )= ,
f3(x)=f2(f2(x))=f2( )=
----
幻灯片 20=
f4(x)=f3(f3(x))=f3( )=
= ,故猜想fn(x)= .
答案：f3(x)= fn(x)=
----
幻灯片 21(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,21+23+25+27+29=125
=53，所以第n个等式的第一个数应为第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，即为
2［ +1］-1=n(n-1)+1,
共有n个奇数，即第n个等式应为
［n(n-1)+1］+［n(n-1)+3］+［n(n-1)+5］+…+
［n(n-1)+2n-1］=n3.
即(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3.
答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+…+(n2+n-1)=n3
----
幻灯片 22(3)f(0)+f(1)=
=
= ，
同理可得：f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= .
由此猜想f(x)+f(1-x)= .
----
幻灯片 23证明：f(x)+f(1-x)
----
幻灯片 24【互动探究】利用本例第(3)题中的结论计算f(-2 012)+
f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值.
【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得
方法一：f(-2 012)+f(2 013)= ,
f(-2 011)+f(2 012)= ,
故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)=
2 013× =671 .
----
幻灯片 25方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+…+f(-2 012)
∴2S=4 026［f(-2 012)+f(2 013)］=4 026× ,
∴S=2 013× =671 .
----
幻灯片 26【反思·感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中
的规律，如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观
察其分子一样，分母变化的是x的系数，故可推出一般结论;第
(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少，通过
观察可看出是第［1+2+…+(n-1)+1］个奇数，从而确定其等式
关系；第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3=
-2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想，x+(1-x)也可看成-x+1+x，
即f(-x)+f(1+x)= 也成立.
----
幻灯片 27 类比推理
【方法点睛】
1.类比推理的步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
----
幻灯片 282.类比的方法
类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示：
----
幻灯片 29点
线
线
面
圆
球
三角形
三棱锥
角
面积
周长
……
二面角
体积
表面积
……
----
幻灯片 30【例2】(2012·盐城模拟)已知命题：“若数列{an}是等比数
列，且an>0，则数列bn= (n∈N+)也是等比数列”.类
比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明
你的结论.
【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积，等差数列中的算术平均数类比等比数列中的几何平均数，故本题中的等比数列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.
----
幻灯片 31【规范解答】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，
则数列bn= (n∈N+)也是等差数列.
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d,则bn= =
=a1+ (n-1),
所以数列{bn}是以a1为首项， 为公差的等差数列.
----
幻灯片 32【反思·感悟】1.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的.
2.类比的关键是确定两类对象之间，某些性质的可比性与合理性。
----
幻灯片 33【变式训练】请用类比推理完成下表：
平 面
空 间
三角形两边之和大于第三边
三棱锥任意三个面的面积之和大
于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的
长度与这边上高的乘积的一半
三棱锥的体积等于任意一个面的面
积与该面上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半
径与三角形周长的乘积的一半
----
幻灯片 34【解析】本题由已知前两组类比可得到如下信息：
----
幻灯片 35故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.(本题结论可用等体积法，将三棱锥分割成四个小三棱锥去证明，证明略)
答案：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一
----
幻灯片 36【变式备选】平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如一组对边平行且相等、两组对边分别平行等.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：__________________________________________
充要条件②：__________________________________________
----
幻灯片 37【解析】两组对边分别平行类比可得三组对面分别平行.一组对边平行且相等类比可得两组对面分别平行且全等.
答案：三组对面分别平行 两组对面分别平行且全等(答案不惟一)
----
幻灯片 38 演绎推理
【方法点睛】演绎推理的理论依据
其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
----
幻灯片 39【例3】已知函数f(x)= +bx(a>0,b>0),x∈(0,+∞)，试确
定f(x)的单调区间，并说明在每个区间上的增减性.
【解题指南】证明函数的增减性，其理论依据是单调性的定义，若函数满足单调性的定义，则其增减性可得.
----
幻灯片 40【规范解答】f(x)在(0， ］上是减函数，在［ ,+∞)
上是增函数，证明如下：
设00,即f(x1)>f(x2),
----
幻灯片 41∴f(x)在(0, ］上是减函数；
当x2>x1≥ 时，
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)af(b)+bf(a),(1)试证明：f(x)为R上的单调增函数.
(2)若x,y为正实数且 =4，比较f(x+y)与f(6)的大小.
----
幻灯片 44【解析】(1)设x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)，
∴x1［f(x1)-f(x2)］+x2［f(x2)-f(x1)］>0，
［f(x2)-f(x1)］(x2-x1)>0，
∵x10,∴f(x2)>f(x1).
所以y=f(x)为R上的单调增函数.
----
幻灯片 45(2)因为x,y为正实数,且 =4，
所以x+y= (x+y)( )
= (13+ )≥ (13+ )= ，
当且仅当 即 时取等号，
因为f(x)在R上是增函数，x+y≥ >6，
所以f(x+y)>f(6).
----
幻灯片 46【易错误区】归纳推理之解答误区
【典例】(2011·江西高考)观察下列各式：55=3 125,56=
15 625;57=78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
(A)3 125 (B)5 625 (C)0 625 (D)8 125
----
幻灯片 47【解题指南】由55,56,57可继续求58，59，从而寻求末四位数字
的变化规律可解.
【规范解答】选D.由题意可得，58=390 625,59=1 953 125,
510=9 765 625，经观察易知，每个数的末四位数呈周期变化，
周期为4，又因为2 011=4×502+3，所以52 011的末四位数字为
8 125.
----
幻灯片 48【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：
----
幻灯片 49----
幻灯片 501.(2011·山东高考)设函数f(x)= (x>0),观察：
f1(x)=f(x)= ，
f2(x)=f(f1(x))=
f3(x)=f(f2(x))=
f4(x)=f(f3(x))=
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))=___________.
----
幻灯片 51【解析】由已知：f1(x)=f(x)=
f2(x)=f(f1(x))=
=
f3(x)=f(f2(x))=
=
f4(x)=f(f3(x))=
= 猜想：
答案：
----
幻灯片 522.(2011·陕西高考)观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为______________.
----
幻灯片 53【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n-1;等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
…… …… ……
----
幻灯片 54所以n+(n+1)+…+{n+［(2n-1)-1］}=(2n-1)2,
即n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2
答案：n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2
----
幻灯片 553.(2012·南昌模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，
求证： ，那么在四面体ABCD中，类比上述结
论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.
----
幻灯片 56【解析】如图①所示，由△ABD∽△CAD及射影定理知
AD2=BD·DC，
AB2=BD·BC，AC2=BC·DC，
∴
= .
又BC2=AB2+AC2，∴ .
∴ .
----
幻灯片 57类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想：
四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则 .
证明：如图②，连接BE并延长交
CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
A
B
C
D
E
F
图②
----
幻灯片 58而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴ .
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴ .∴ .
----
幻灯片 59----
幻灯片 60----
【点此下载】